相似矩阵(课后微改).ppt

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1、几何与代数主讲:王小六东南大学线性代数课程讲座通知12月15日(本周二)晚上6:30在教三205举办几何与代数讲座，欢迎参加.上机时间地点通知12.19(本周六)下午2:00到3:30五楼一到四号机房题目本周四上传至课程中心答疑通知从本周开始每周五上午一至四节课地点：教八400，位于教八四楼西侧楼梯口第5章特征值与特征向量第1节特征值与特征向量（回顾）§5.1方阵的特征值和特征向量特征值,特征向量的概念设A是n阶方阵,若Aη=0η(η≠),则称0为A的特征值,称η为A的对应于0的特征向量.求方阵A的特征值和特征向量的一般步骤：求解特征方程

2、E–A

3、=0的根0求

4、解(0E–A)x=(或(A-0E)x=)的非零解(只需求出它的一个基础解系η1,η2,…,ηs)η1,η2,…,ηs即为A对应于特征值0的特征向量第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量一个上(下)三角矩阵的特征值就是其主对角元素。特别地，一个对角矩阵的特征值就是其主对角元素。第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量k是A的一个特征值

5、kE-A

6、=0kE-A不可逆二.特征值的性质定理5.1.设n阶方阵A=(aij)n×n,则

7、E–A

8、是n次多项式,其n次项的系数为1;

9、E–A

10、的n-1次项的系数为

11、E–A

12、的常数项为(-1)n

13、A

14、.-aii

15、;ni=1称为矩阵A的迹,记为迹(A),或tr(A).aiini=1第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量i=tr(A)=aiini=1ni=1i=

16、A

17、.ni=1推论5.1设矩阵A=(aij)n×n的特征值是1,2,…,n,则,(2)设0是方阵A的一个特征值,f是一个多项式,则f(0)是方阵f(A)的一个特征值.(3)若A是一个方阵,f是多项式使f(A)=O(这时称f为A的一个化零多项式),则A的任一特征值0必满足f(0)=0.注:A的化零多项式的根未必都是A的特征值.例如f(x)=x21,A1=1001,A2=1001,A3=0

18、110.性质(1)设0是可逆矩阵A的一个特征值,则0≠0，且0-1是A-1的特征值.第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量例5设A是3阶方阵，E–A,E+A,2E-A不可逆.A*是A的伴随矩阵.f(x)=x2+x+3.试求f(A*)的迹和行列式.第一步求出A*的特征值；第二步求出f(A*)的特征值.(与课本例5.5步骤稍有不同)第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量解：第5章特征值与特征向量第2节相似矩阵§5.2相似矩阵§5.2相似矩阵一.相似矩阵的定义和性质设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使得B=P1AP,则称矩阵A相似于B.记为A~B.P

19、称为相似变换矩阵.易见,矩阵间的相似关系满足反身性:A~A;对称性:A~BB~A;传递性:A~B,B~CA~C.即矩阵间的相似关系是一种等价关系.第5章特征值与特征向量1.A~BA与B等价.但反之未必.注2.A~B,并且A可逆A-1~B-1.3.A~B,f是一个多项式f(A)~f(B).§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量命题:设A~B,f是一个多项式,则f(A)~f(B).证明:设P1AP=B,f(x)=anxn+…+a1x+a0,则P1f(A)P=anP1AnP+…+a1p1AP+a0P1EP=an(P1AP)n+…+a1P1AP+a0E=P

20、1(anAn+…+a1A+a0E)P=anBn+…+a1B+a0E=f(B).§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量例1.若先将n阶矩阵A的第i行第j行对换，再将第i列第j列对换得到矩阵B，证明:A与B相似.AP(i,j)AP(i,j)AP(i,j)=B注意：P(i,j)-1=P(i,j)§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量定理5.2.设n阶方阵A与B相似,则有相同的特征多项式.(从而有相同的特征值,迹和行列式.)事实上,设P–1AP=B,则

21、E–A

22、=

23、P–1

24、·

25、P

26、·

27、E–A

28、=

29、P–1

30、·

31、E–A

32、·

33、P

34、=

35、P–1(E–A)P

36、=

37、E–B

38、.§5.

39、2相似矩阵第5章特征值与特征向量注:特征多项式相同的矩阵未必相似.例如A=1011,B=1001,它们的特征多项式都是(1)2.但是若有P–1AP=B,则A=PBP–1=E.矛盾!上述反例也告诉我们，已知两个矩阵的特征值相同，或迹相同，或行列式相同，并不能得到它们是相似的.二.方阵与对角矩阵相似的充要条件定理5.3.n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.从定理5.3的证明中可看出，如果A相似于对角矩阵那么任意调整的主对角元素，所得新的对角矩阵与A也是相似的.10002000