2018_2019年高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理学案新人教A版.docx

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1、1．3.1　二项式定理[教材研读]预习教材P29～31，思考以下问题1．二项式定理的内容是什么？其通项公式又是什么？　　2．二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗？　　[要点梳理]1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n}叫做二

2、项式系数．2．二项展开式的通项公式(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．(a＋b)n展开式中共有n项．(　　)2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．(　　)3．Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　)[答案]　1.×　2.×　3.×思考：你能写出(b＋a)n的二项展开式吗？二项展开式中的字母a，b能交换位置吗？提示：①(b＋a)n＝Cbn＋Cbn－1a＋Cbn－2a2＋…＋Ca

3、n.②二项展开式中的字母a，b是不能交换的，即虽然(a＋b)n与(b＋a)n结果相同，但(a＋b)n与(b＋a)n的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，不能混淆，如(a＋b)3的展开式中第2项是3a2b，而(b＋a)3的展开式中第2项是3ab2，两者是不同的．(1)求4的展开式；(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．[思路导引]　(1)直接利用二项式定理展开即可；(2)为二项式定理的逆用，找好对应的a，b及n的值．[解]　(1)解法一：

4、4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C·3·3＋C·4＝81x2＋108x＋54＋＋.解法二：4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.　运用二项式定理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出

5、现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．[跟踪训练]利用(a＋b)n的二项展开式解题．(1)求(a＋2b)4的展开式；(2)求5的展开式．[解]　(1)根据二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，得(a＋2b)4＝Ca4＋Ca3(2b)＋Ca2(2b)2＋Ca(2b)3＋C(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.

6、(2)5＝C(2x)5＋C(2x)4＋C(2x)32＋C(2x)23＋C(2x)4＋C5＝32x5－120x2＋－＋－.题型二　二项式定理中的特定项与系数问题思考1：在(a＋b)n展开式中，第k项是什么？提示：Tk＝T(k－1)＋1＝Can－k＋1bk－1.思考2：在(a＋b)n的二项展开式中，Tk＋1＝Can－kbk是二项展开式的第几项？其二项式系数是什么？提示：Tk＋1＝Can－kbk是第k＋1项，其二项式系数为C.已知在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n的值；(2)求含x2的项的系数；(3)求第4

7、项的二项式系数及第4项的系数；(4)求展开式中所有的有理项．[思路导引]　利用二项式定理中的通项公式求解．[解]　(1)通项为Tr＋1＝Cx(－3)rx＝C(－3)rx.因为第6项为常数项，所以r＝5时，有＝0，即n＝10.(2)令＝2，得r＝2.所以所求的系数为C(－3)2＝405.(3)∵10的展开式的通项是Tr＋1＝C(－3)rx，∴第4项的二项式系数为C＝120，第4项的系数为C(－3)3＝－120×27＝－3240.(4)根据通项，由题意得所以r可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它

8、们分别为C(－3)2x2，C(－3)5，C(－3)8x－2.即405x2，－61236,295245x－2.求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项