高中数学 计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理学案新人教a版

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1、1.3.1　二项式定理学习目标　1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点　二项式定理及其相关概念思考1　我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．答案　(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.思考2　能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？答案　能，(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk

2、＋…＋Cbn(n∈N*)．梳理二项式定理公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，称为二项式定理二项式系数C(k＝0,1，…，n)通项Tk＋1＝Can－kbk二项式定理的特例(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn1．(a＋b)n展开式中共有n项．(　×　)2．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　×　)3．Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　×　)4．(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．(　√　)类型一　二项式定理的正用、逆用例1　(1)

3、求4的展开式．考点　二项式定理题点　运用二项式定理求展开式解　方法一　4＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.方法二　4＝4＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.考点　二项式定理题点　逆用二项式定理求和、化简解　原式＝C(x＋1)n＋C(x＋

4、1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.引申探究若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________.答案　44解析　∵(1＋)4＝1＋C×()1＋C×()2＋C×()3＋C×()4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.反思与感悟　(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项

5、减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练1　化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.考点　二项式定理题点　逆用二项式定理求和、化简解　原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.类型二　二项展开式通项的应用例2　已知二项

6、式10.(1)求展开式第4项的二项式系数；(2)求展开式第4项的系数；(3)求第4项．考点　二项展开式中的特定项问题题点　求二项展开式特定项的系数解　10的展开式的通项是Tk＋1＝C(3)10－kk＝C310－kk·(k＝0,1,2，…，10)．(1)展开式的第4项(k＝3)的二项式系数为C＝120.(2)展开式的第4项的系数为C373＝－77760.(3)展开式的第4项为T4＝T3＋1＝－77760.反思与感悟　(1)二项式系数都是组合数C(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二

7、项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．(2)第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.跟踪训练2　已知n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n的值；(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．考点　二项展开式中的特定项问题题点　求二项展开式特定项的系数解　(1)因为T3＝C()n－22＝4C，T2＝C()n－1＝－2C，依题意得4C＋2C＝16

8、2，所以2C＋C＝81，所以n2＝81，n∈N*，故n＝9.(2)设第k＋1项含x3项，则Tk＋1＝C()9－kk＝(－2)kC，所以＝3，k＝1，所以第二项为含x3的项为T2＝－2Cx3＝－18x3.二项式系数为C＝9.例3　已知在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；