2018年秋高中数学计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理学案新人教a版

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1、1.3.1　二项式定理学习目标：1.能用计数原理证明二项式定理．(一般)2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(重点)3.能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．2．二

2、项展开式的通项公式(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？[提示]　二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？[提示]　不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Can－kbk，而(b＋a)n展

3、开式中第k＋1项为Cbn－kak.[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　)(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　　)(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　)(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．(　　)[解析]　(1)×　因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)×　因为二项式的第k＋1项Can－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．(

4、3)×　因为Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．(4)√　因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C.[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于(　　)【导学号：95032072】A．9　　　　　　　　B．10C．11D．12B　[由二项式定理的公式特征可知n＝10.]3．(y－2x)8展开式中的第6项的二项式系数为(　　)A．CB．C(－2)5C．CD．C(－2)6C　[由题意可知：Tk＋1＝Cy8－k(－2x)k＝C·(－

5、2)kxky8－k当k＝5时，二项式系数为C.]4．化简：(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝________.【导学号：95032073】x4　[(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝[(x－1)＋1]4＝x4][合作探究·攻重难]二项式定理的正用和逆用　(1)求的展开式．(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.[思路探究]　(1)解答本题先将看成a，－看成b，利用二项式定理

6、展开，也可以先将化简后再展开．(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．[解]　(1)法一：＝C()4－C()3·＋C()2·－C·＋C＝x2－2x＋－＋.法二：＝＝(2x－1)4＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)＝x2－2x＋－＋.(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.[规律方法]　二项式定理的双向功能(1)正用：将二项式(a＋b)n展开，得

7、到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．[跟踪训练]1．(1)求二项式的展开式；(2)化简(x－2)5＋5(x－2)4＋10(x－2)3＋10(x－2)2＋5(x－2)．[解]　(1)＝C(3)4＋C(3)3＋C(3)2＋C(3)＋C＝81x2－108x＋54－＋.(2)原式＝C(x－2

8、)5＋C(x－2)4＋C(x－2)3＋C(x－2)2＋C(x－2)＋C(x－2)0－1＝[(x－2)＋1]5－1＝(x－1)5－1.二项展开式通项的应用　已知二项式(1)求展开式第4项的二项式系数，(2)求展开式第4项的系数，(3)求第4项.【导学号：95032074】[思路探究]　利用二项式定理的展开式中某一项[解]　由已知得的展开式的通项是Tk＋1＝C(2)6－k＝C26－k(－1)k·x(k＝