2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程练习.docx

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1、2.3.1双曲线及其标准方程[A　基础达标]1．已知双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)A．　　　　　　　B．C．D．(，0)解析：选C．将双曲线方程化成标准方程为－＝1，所以a2＝1，b2＝，所以c＝＝，故右焦点坐标为．2．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是(　　)A．－y2＝1B．y2－＝1C．－＝1D．－＝1解析：选B．由题意知，双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，所以b2＝3，所以双曲线的方程为y2－＝1．3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是(　　)A．B．1或－2C．

2、1或D．1解析：选D．依题意：解得a＝1．4．已知点A(0，－4)，B(0，4)，

3、PA

4、－

5、PB

6、＝2a，当a分别为3，4时，点P的轨迹为(　　)A．双曲线和一条直线B．双曲线和两条射线C．双曲线一支和一条直线D．双曲线一支和一条射线解析：选D．当a＝3时，2a＝6＜8，又

7、PA

8、－

9、PB

10、＝2a，故点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝4时，2a＝8，又

11、PA

12、－

13、PB

14、＝2a，故点P的轨迹是一条射线．5．已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足

15、MA

16、－

17、MB

18、＝6，则点M的轨迹方程是(　　)A．－＝1B．－＝1(x≥4)C．－＝1D．

19、－＝1(x≥3)解析：选D．由

20、MA

21、－

22、MB

23、＝6，且6＜

24、AB

25、＝10，得a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16．故其轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支．所以方程为－＝1(x≥3)．6．若点P到点(0，－3)与到点(0，3)的距离之差为2，则点P的轨迹方程为________．解析：由题意并结合双曲线的定义，可知点P的轨迹方程为双曲线的上支，且c＝3，2a＝2，则a＝1，b2＝9－1＝8，所以点P的轨迹方程为y2－＝1(y≥1)．答案：y2－＝1(y≥1)7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距

26、离为________．解析：双曲线右焦点为(4，0)，将x＝3代入－＝1，得y＝±．所以点M的坐标为(3，)或(3，－)，所以点M到双曲线右焦点的距离为＝4．答案：48．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3

27、PF1

28、＝4

29、PF2

30、，则△PF1F2的面积为________．解析：由题意知

31、PF1

32、－

33、PF2

34、＝2a＝2，所以

35、PF2

36、－

37、PF2

38、＝2，所以

39、PF2

40、＝6，

41、PF1

42、＝8，又

43、F1F2

44、＝10，所以

45、PF2

46、2＋

47、PF1

48、2＝

49、F1F2

50、2，所以△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，所以S△PF1F2

51、＝24．答案：249．已知－＝－1，当k为何值时：(1)方程表示双曲线；(2)方程表示焦点在x轴上的双曲线．解：(1)原方程可变形为－＝1．要使方程表示双曲线，必须满足(

52、k

53、－3)(1－k)＞0，即或，解得k＜－3或1＜k＜3．(2)若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则，解得1＜k＜3．10．焦点在x轴上的双曲线过点P(4，－3)，且点Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．解：因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，F1(－c，0)，F2(c，0)．因为双曲线过点P(4，－3)，所以－＝1．①又因为

54、点Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，所以·＝0，即－c2＋25＝0．解得c2＝25．②又c2＝a2＋b2，③所以由①②③可解得a2＝16或a2＝50(舍去)．所以b2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是－＝1．[B　能力提升]11．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，·的值为(　　)A．2B．3C．4D．6解析：选B．设点P(x0，y0)，依题意得，

55、F1F2

56、＝2＝4，S△PF1F2＝

57、F1F2

58、

59、y0

60、＝2

61、y0

62、＝2，所以

63、y0

64、＝1．又－y＝1，所以x＝3(y＋1)＝6．所以·＝(－2－x0，－

65、y0)·(2－x0，－y0)＝x＋y－4＝3．12．已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为F1(－，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程为(　　)A．－y2＝1B．x2－＝1C．－＝1D．－＝1解析：选B．设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则c＝，即a2＋b2＝5　①．设P(x，y)，由线段PF1的中点坐标为(0，2)，可知，得，即点P的坐标为(，4)，代入双曲线方程，得－＝1　②．联立①②，得a2＝1，b2＝4，即双曲线的标准方程为x2－＝1．故选B．13．求与椭圆x2＋4y2＝8有公共焦点的双

66、曲线的方程，使得以此双曲线与椭圆的四个交点为顶点的四边形的面积最大．解：椭圆的方程可化为＋＝1