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《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学案含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2．3.1 双曲线及其标准方程双曲线的定义[提出问题]问题1：平面内，动点P到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为12，动点P的轨迹是什么？提示：椭圆．问题2：平面内，动点P到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值为6，动点P的轨迹还是椭圆吗？是什么？提示：不是，是双曲线．[导入新知]双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于
2、F1F2
3、)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．[化解疑难]平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数
4、，即
5、
6、MF1
7、－
8、MF2
9、
10、＝2a，关键词“平面内”．当2a＜
11、F1F2
12、时，轨迹是双曲线；当2a＝
13、F1F2
14、时，轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；当2a＞
15、F1F2
16、时，轨迹不存在．双曲线的标准方程[提出问题]问题1：“知识点一”的问题2中，动点P的轨迹方程是什么？提示：－＝1.问题2：平面内，动点P到两定点F1(0,5)，F2(0，－5)的距离之差的绝对值为定值6，动点P的轨迹方程是什么？提示：－＝1.[导入新知]双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上11标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)焦点坐标F1(
17、－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2[化解疑难]1．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方差，并且分母大小关系不确定．2．a，b，c三个量的关系：标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a＞b＞0，而双曲线中，a，b大小不确定．对双曲线标准方程的认识[例1] 已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是( )A．(5，＋∞) B．(－2,2)∪(5，＋∞)C．(
18、－2,2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解] ∵方程对应的图形是双曲线，∴(k－5)(
19、k
20、－2)＞0.即或解得k＞5或－2＜k＜2.[答案]B[类题通法]将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn＜0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．[活学活用]若k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( )A．焦点在x轴上的椭圆11B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在x轴上的双曲线解析：选C 原方程化为－＝1，∵k＞1
21、，∴k2－1＞0，k＋1＞0.∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．求双曲线的标准方程[例2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a＝4，经过点A；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．[解] (1)当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(b＞0)，把A点的坐标代入，得b2＝－×＜0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(b＞0)，把A点的坐标代入，得b2＝9，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴解得∴
22、所求双曲线的标准方程为－＝1.[类题通法]1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．112．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．[活学活用]根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与椭圆＋＝
23、1有共同的焦点，且过点(，4)；(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．解：(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为－＝1.由题意，知解得故双曲线的方程为－＝1.(2)∵焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0＜λ＜6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是－y2＝1.双曲线定义及标准方程的应用[例3] 设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若
24、PF1
25、∶
26、PF2
27、＝3∶2，则△PF1F2的面积为( )A
28、．6 B．12C．12D．24[解] 如图所示，11∵
29、PF1
30、－
31、PF2
32、＝2a＝2，且
33、PF1
34、∶
35、PF2
36、＝3∶2，∴
37、PF1
38、＝6，
39、PF2
40、＝4.又∵
41、F
