2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学案 (2).docx

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1、2．3．1　双曲线及其标准方程　1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程．　2．掌握双曲线的标准方程．3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹．(2)符号表示：

4、

5、MF1

6、－

7、MF2

8、

9、＝2a(常数)(0<2a<

10、F1F2

11、)．(3)焦点：两个定点F1、F2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为

12、F1F2

13、．定义中的限制条件“小于

14、F1F2

15、”“绝对值”“常数不等于零”．(1)若将“

16、小于

17、F1F2

18、”改为“等于

19、F1F2

20、”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于

21、F1F2

22、”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．(3)若将“常数不等于零”改为“等于零”，则此时动点轨迹是线段F1F2的垂直平分线．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关

23、系c2＝a2＋b2双曲线焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．(　　)(2)点A(1，0)，B(－1，0)，若

24、AC

25、－

26、BC

27、＝2，则点C的轨迹是双曲线．(　　)(3)在双曲线标准方程－＝1中，a>0，b>0且a≠b．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×已知双曲线

28、－＝1，则双曲线的焦点坐标为(　　)A．(－，0)，(，0)　　　B．(－5，0)，(5，0)C．(0，－5)，(0，5)D．(0，－)，(0，)答案：B双曲线的两焦点坐标是F1(3，0)，F2(－3，0)，2b＝4，则双曲线的标准方程是(　　)A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1答案：A设双曲线－＝1的右支上一点P到左焦点F1的距离是15，则P到右焦点F2的距离是________．答案：7探究点1　求双曲线的标准方程　根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)半焦距为，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上；(

29、2)过点P，Q，且焦点在坐标轴上．【解】　(1)因为半焦距为，且焦点在x轴上，则可设双曲线的标准方程为－＝1(a2＜6)．因为双曲线经过点(－5，2)，所以－＝1，解得a2＝5或a2＝30(舍去)．于是双曲线的标准方程为－y2＝1．(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为P，Q两点在双曲线上，所以解得所以所求双曲线的方程为－x2＋＝1，即－＝1．求双曲线的标准方程的方法(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”，利用待定系数法求解．(2)当焦点位置不确定时，应按焦点在

30、x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论．(3)当已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程时，可把双曲线方程设成mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式求解．　　求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4．解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，所以解得a2＝20，b2＝16．故所求双曲线的标准方程为－＝1．(2)椭圆＋＝1的两个焦

31、点为F1(0，－3)，F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)或(－，4)．设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得故所求双曲线的标准方程为－＝1．探究点2　双曲线定义的应用　设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若

32、PF1

33、∶

34、PF2

35、＝3∶2，求△PF1F2的面积．【解】　由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得

36、PF1

37、－

38、PF2

39、＝2，因为

40、PF1

41、∶

42、PF2

43、＝3∶2，所以

44、PF1

45、＝6，

46、PF2

47、＝4．又

48、F1F2

49、＝2c＝2，由余弦定理，得cos∠F1PF

50、2＝＝0，所以△F1PF2为直角三角形．S△PF1F2＝×6×4＝12．1．[变条件]若将“

51、PF1

52、∶

53、PF2

54、＝3∶2”改为“

55、PF1

56、·

57、PF2

58、＝24”，求△PF1F2的面积．解：由双曲线方程为x2－＝1，可知a＝1，b＝2，c＝＝．因为

59、PF1

60、·

61、PF2

62、＝24，则cos∠F1PF2＝＝＝＝0，所以△PF1F2为直角三角形．所以S△PF1F2＝

63、PF1

64、·

65、PF2

66、＝12．