圆的极坐标方程教学案例.doc

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1、《圆的极坐标方程》案例一、教学目标：知识目标：认识曲线的极坐标方程的条件，比较与曲线的直角坐标方程的区别与联系，掌握各种圆的极坐标方程，能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形能力目标：通过求圆的极坐标方程，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生进一步认识极坐标系的作用。情感目标：通过求圆的极坐标方程．培养学生数与形相互联系，对立统一的辩证唯物主义观。二、情景描述：1、回顾旧知师：在上一节课，我们已经学习了极坐标的定义及如何进行极坐标与直角坐标的互化。那大家回顾一下，我们是如何建立极坐标？（学生思考片刻后，教师提问并板书。）生1：在平面内取任意一点O，引一条射XO

2、M.rq线OX，选定一个单位和角度单位及它的正方向，建立起来的坐标为极坐标。师：那怎样表示极坐标系里的点M的坐标？生2：用有序数对表示M.师：那这里的跟分别代表什么意思？生2：表示点M到极点O的距离，表示以OX为始边，射线OM为终边的角。师：上一节课，我们已经学习了极坐标与直角坐标的互化，那么，它们的互化公式是什么？生3：直角坐标化为极坐标极坐标化为直角坐标师：这些是我们上一节课所学习的极坐标知识。在前面我们已经学习了简单曲线的直角坐标方程。这一节课开始，我们将共同来探讨简单曲线的极坐标方程。【设计意图】由极坐标系的定义、极坐标的表示以及极坐标与直角坐标的互化导入新课，

3、一方面是对已经学习的知识点的复习巩固，另一方面是因为这部分的知识与新课内容有很大的联系，除了能自然地过渡到新课内容，还有利于新知识的学习。2、共探新知师：在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x,y)=0表示，曲线与方程满足如下关系：①曲线C的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解；②以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点．xC(a,0)OMrqA师：那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程f(ρ,θ)=0表示呢？我们一起来探讨一下下面的问题。探究：如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(r,q)满

4、足的条件吗？(多媒体演示,学生思考，互相讨论)师：大家先回忆一下我们在直角坐标系中求曲线方程的一般步骤。生众：建系→设点→列式→化简→结论师：其实，采用相同的办法，我们可以求极坐标系中曲线的方程。我们可以以点为极点，为极轴建立如右图所示的极坐标系，设圆与极轴的另一个交点为，那么？生众：2a师：设为圆上除点，以外的任意一点，则？生众：AM师：在中，？，即？生众：，······①师：注意，我们可以可以验证，点（0,0），（2a，0）的坐标满足等式①，也就是说等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件。，师：像这样（1）曲线C的点的极坐标都是方程f(ρ,θ)=0的解；（2）以方

5、程f(ρ,θ)=0的解为坐标的点都在曲线C上．那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方程【设计意图】由直角坐标系中求曲线的方程的一般步骤类比出求曲线的极坐标方程的一般步骤，从而得到如何求曲线极坐标方程的思路。由上述例子得到曲线的极坐标方程的定义，层层递进，有利于我们对知识点的理解。（教师板书）曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线C上，那么方程叫做曲线C的极坐标方程．师：那么，在极坐标系中，求曲线的极坐标方程的一般步骤是什么？生众：建系→设点→列式→化简→结论师：很好。我们来看一下下

6、面的例题。3、例题讲解与练习MOθxρ例1已知圆O的半径为a(a>0)，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程最简单？师：大家有什么想法没有啊？生众：可以以圆心O为极点，建立极坐标系。师：很好。那么，圆上的各点的几何特征是什么？生众：它们的极径都等于半径r师：很好，那我们一起来解这道题。（教师板书演示）解：以圆心O为极点，从O出发的一条射线为极轴建立坐标系，设M（ρ，θ）为圆上任意一点，则ρ=a为所求圆的极坐标方程。师：显然，使极点与圆心重合的圆的极坐标方程在形式上比较简单。圆的极坐标方程除了上述两种形式还有其它形式。我们来看下面的这个问题。思考：在极坐标系中，圆心C

7、在，半径为r，求圆的极坐标方程。师：我们已经知道求曲线方程的一般步骤。生众：建系→设点→列式→化简→结论师：很好，我们就按照这样的步骤来试着求一下满足上述条件圆的极坐标方程。第一步是要建立极坐标系并画出满足条件的圆。（教师一边讲解一边板书）OXCMρ0ρ解：如图，建立极坐标系并作圆C使其圆心为，则设点M的坐标为（ρ，θ），则师：除上述条件，还有其他的条件吗？生众：师：那这个问题可以转化为哪一类问题？生众：解三角形问题。师：在△MOC中，我们知道有哪一些已知条件，能运用哪些知识点求解？生众：已知三条边和一个内角，可以用余弦定理求解。在△MO