高等数学基础作业3答案.doc

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1、第4章导数的应用（一）单项选择题⒈若函数满足条件（D），则存在，使得．A.在内连续B.在内可导C.在内连续且可导D.在内连续，在内可导⒉函数的单调增加区间是（D　）．A.B.C.D.⒊函数在区间内满足（A　）．A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升⒋函数满足的点，一定是的（C　）．A.间断点B.极值点C.驻点D.拐点⒌设在内有连续的二阶导数，，若满足（C），则在取到极小值．A.B.C.D.⒍设在内有连续的二阶导数，且，则在此区间内是（A）．A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的C.单调增加且是凸的D.单调增加且是凹的（

2、二）填空题⒈设在内可导，，且当时，当时，则是的极小值点．⒉若函数在点可导，且是的极值点，则0．⒊函数的单调减少区间是．⒋函数的单调增加区间是⒌若函数在内恒有，则在上的最大值是．⒍函数的拐点是x=0．（三）计算题⒈求函数的单调区间和极值．解：令，得驻点．x1(1,5)5+0-0+y单调上升32(极大值)单调下降0（极小值）单调上升列表（见右列表）：在上，在上，在上．由此可知函数在和上单调增加，在上单调减少．是极大值点，极大值为，是极小值点，极小值为．⒉求函数在区间内的极值点，并求最大值和最小值．解：令，得驻点．在上，在上．所以是极小值点．此时有，所以最大值

3、为，最小值为．⒊求曲线上的点，使其到点的距离最短．解：设曲线上的点为，则该点到点的距离为与有相同的最小值点因为，所以令，得，容易验证该点是最小值点。此时即曲线上的点与点到点的距离最短．⒋圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？　解：如图所示，圆柱体高与底半径满足L圆柱体的体积公式为将代入得求导得令得，并由此解出。即当底半径，高时，圆柱体的体积最大.⒌一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？解：设圆柱体的底半径为，高为，则表面积为因为，即，所以令，得，容易验证该点是最小值点。此时即圆柱体的底半径与高

4、时表面积最小．⒍欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设正方形的底边为，高为，则表面积为因为，即，所以令，得，容易验证该点是最小值点。此时即正方形的底边为，高为时用料最省．（四）证明题⒈当时，证明不等式．证：设，有显然，当时，，所以单调增加，由此可得因为所以即由此得⒉当时，证明不等式．证：设，有显然，当时，，所以单调增加，由此可得因为所以即由此得