曹瑞彬--初等数论.doc

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1、竞赛中数论选讲(扬州)启东中学曹瑞彬例1．设n∈N+，f(n)=n(n2-1)(n2-5n+26)，求证：120

2、f(n)。例2．设p为奇质数，证明例3．试证：A=不是整数。例4．对于正整数n与k，定义：F(n，k)=求证：F(n，1)

3、F(n，k)。例5．求同时满足下条件的一组整数a、b，(1)ab(a+b)不能被7整除；(2)(a+b)7-a7-b7能被77整除。例6．证明：对于任一正整数n，存在一个正整数满足下列性质：(1)它有n位数；(2)它的每位数字都不是零；(3)它能被其各位数字之和整除。例7．给定大于1的自然a、

4、b、n，An-1和An是a进制数，Bn-1和Bn是b进制数，An-1、An、Bn-1、Bn定义为：An=(xnxn-1…x))a，An-1=(xn-1xn-2…x0)a，Bn=(xnxn-1…x))b，Bn-1=(xn-1xn-2…x0)b，其中xn≠0，xn-1≠0。证明：当a＞b时，有。例8．给定正整数n，已知砝码重量(克)都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，3，…，n克的所有物品。（1）求k的最小值f(n)；（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。例9．定义函

5、数：f：N+→N+如下：f(1)=1，f(3)=3，且对n∈N，有f(2n)=f(n)，f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n)，f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)，问有多少个n∈N+，且n≤2009，使f(n)=n。例10．设整数a、b、c满足a+b+c=0，记d=a2011+b2011+c2011。证明：

6、d

7、不是素数。例11．设a、b、c、d为正整数，证明：a4b+d-a4c+d被240整除。例12已知数列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=试证：对一切n∈N*，an≠0．（1988年全国高中竞赛试题

8、）例13设E={1，2，3，……，200}，G={a1，a2，……，a100}E．且G具有下列两条性质：⑴对任何1≤i

9、(x+y+z)。例15．设n>1，证明：11…1不是完全平方数。例16．已知a0=0，a1=1，an+1=8an-an-1，n=1，2，…，求证：在数列{an}中没有形如3α5β(α、β为正整数)的项

10、。例17数列{xn}为1,3，5，…，满足递推关系：xn+2=xn+1+2xn，n∈N*。数列{yn}为7,17，55，…，满足递推关系：yn+2=2yn+1+3yn，n∈N*。证明：这两个数列没有相同的项。例18．证明：对任意整数，存在一个次多项式具有如下性质：（1）均为正整数；（2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有．例19.记[m]为不超过实数m的最大整数．设x、y均为正实数，且对所有的正整数n，都有［x［ny］］=n−1成立．证明：xy=1，且y是大于1的无理数．例20.设k，l是给定的两个正整数，证明：存在

11、无穷多个正整数m≥k，使得C与l互素．21.设f(x)是周期函数，T和1是f(x)的周期且0＜T＜1．证明：(I)若T为有理数，则存在素数p，使是f(x)的周期；(II)若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列{an}满足1＞an＞an＋1＞0(n＝1，2，…)，且每个an(n＝1，2，…)都是f(x)的周期．例22.求出所有小于10的正整数M，使得5整除2009M+M2009。例23．证明：数列1,31,331,33331，…中有无穷多个合数。24.试求出所有的正整数a、b、c，其中1＜a＜b＜c，且使得(a-1)(b-1)

12、(c-1)

13、abc-1。