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1、《初等数论》作业第一次作业：一、单项选择题1、（）.ABCD02、如果，，则().ABCD3、如果，则=（）.ABCD4、小于30的素数的个数（）.A10B9C8D75、大于10且小于30的素数有（）.A4个B5个C6个D7个6、如果，，则15（）.A整除B不整除C等于D不一定7、在整数中正素数的个数（）.A有1个B有限多C无限多D不一定二、计算题1、求24871与3468的最大公因数?2、求[24871,3468]=?3、求[136,221,391]=?三、证明题1、如果是两个整数,,则存在唯一的
2、整数对,使得,其中.2、证明对于任意整数,数是整数.3、任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数.4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.第二次作业一、单项选择题1、如果(A),则不定方程有解.ABCD2、不定方程（A）.A有解B无解C有正数解D有负数解二、求解不定方程1、.解：因为（9，21）=3，，所以有解；化简得；考虑，有，所以原方程的特解为，因此，所求的解是。2、.解：因为,所以有解;考虑,;所以是特解,即原方程的解是3、.解：因为（107，37）=1，所以有解；考虑，有，所以，原
3、方程特解为=225，=-650，所以通解为4.求不定方程的整数解.解我们将它分为两个二元一次不定方程来求解25x+13y=t,t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,因为25(-t)+13(2t)=t,32+7(-4)=4,所以,上面两个方程的解分别为,.消去t就得到所求的解,这里是任意整数.5.求不定方程的整数解.解我们将它分为两个二元一次不定方程来求解4x-9y=t,t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法,因为4(-2t)-9(-t)=t,48+5(-8)=8,所以,上面两个方程的解分别
4、为,.消去t就得到所求的解,这里是任意整数.第三次作业：一、选择题1、整数能被()整除.A3B3与9C9D3或92、整数能被()整除.A3B5C7D93、模5的最小非负完全剩余系是().A-2,-1,0,1,2B-5,-4,-3,-2,-1C1,2,3,4,5D0,1,2,3,44、如果,是任意整数,则ABCTD二、解同余式（组）（1）.（2）（3）.（4）.（5）.三、证明题1、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.2、证明当是奇数时，有.第四次作业：一、计算：1、判断同余式是否有解？2、判断同
5、余式是否有解？3、求11的平方剩余与平方非剩余.4、计算,其中563是素数.1、计算二、证明题：1、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.2、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.4、素数写成两个平方数和的方法是唯一的.答案：第一次作业：一、单项选择题1、（C）.ABCD02、如果，，则(D).ABCD3、如果，则=（C）.ABCD4、小于30的素数的个数（A）.A1
6、0B9C8D75、大于10且小于30的素数有（C）.A4个B5个C6个D7个6、如果，，则15（A）.A整除B不整除C等于D不一定7、在整数中正素数的个数（C）.A有1个B有限多C无限多D不一定二、计算题1、求24871与3468的最大公因数?解：24871=34687+5953468=5955+493595=4931+102493=1024+85102=851+1785=175,所以,(24871,3468)=17.2、求[24871,3468]=?解：因为（24871,3468）=17所以[24
7、871,3468]==所以24871与3468的最小公倍数是。3、求[136,221,391]=?解：[136,221,391]=[[136,221],391]=[]=[1768,391]===40664.三、证明题1、如果是两个整数,,则存在唯一的整数对,使得,其中.证明：首先证明唯一性.设,是满足条件的另外整数对,即,.所以,即,.又由于,,所以.如果,则等式不可能成立.因此,.其次证明存在性.我们考虑整数的有序列……,……则整数应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数使.我们设,则有,.2、
8、证明对于任意整数,数是整数.证明：因为==,而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,并且(2,3)=1,所以从和有,即是整数.3、任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数.证明：因为,=,所以,-=而上面等式右边的每一项均是9的倍数,于是所证明的结论成立.1、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.证明:设相邻两个偶数分别为所以=而且两个连续整数的乘积是2的倍数即是8的倍数.第二次作业答案：一、单项选择题1、如果(A),则不定方程有解.A
