《初等数论》网络作业

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1、实用标准文案《初等数论》网络作业11、证明整数能被1001整除。证明:利用公式:若n是正奇数,则∴∴能够整除2、若n是奇数,证明。证明:设,则∵k,k+1中必有一个是偶数∴3、设正整数n的十进制表示为,其中,且,证明的充分必要条件是。证明:∵,∴对所有的,有∴∴的充分必要条件是4、设是正奇数,证明对任意的正整数,不能整除。证明:当n=1时,结论显然成立。下面设,令则利用公式:若n是正奇数,则文档实用标准文案∴对,∴,是整数∵∴n+2不能整除2S∴n+2不能整除S5、设n为正整数,证明。证明:设则,∴∴,即∴又∵∴∴d=1,即6

2、、设为正整数,证明。证明:,另一方面∴7、设x,y都是实数,证明。证明:设,文档实用标准文案则∵∴或如果,则显然有如果,则a,b中至少有一个不小于,所以因此,都有,从而《初等数论》网络作业21、设正整数的十进制表示为,即,证明当且仅当证明:由利用同余可加性和同余可乘性,得∴当且仅当2、求被除的余数。解:依次计算同余式得,∴,即∴被641除的余数为03、设是一个使不能被5整除的自然数,试求除以的5的余数。解:设,文档实用标准文案对任意整数,有当时,,但5不能整除,∴当时,不能被5整除。对于或,通过计算得,当时,当时,当时,∴当是

3、一个使不能被5整除的自然数时,除以的5的余数为1或0或4。4、求的个位数字。解:∵∴如果,则∵∴∴的个位数字是35、设是整数,是正整数,若2不能整除,则证明:对n作数学归纳。设,当时,有,所以结论成立.假设时,成立文档实用标准文案下面要证明时,也成立由于∴,其中为某个整数∴由归纳法,对所有的正整数,成立6、设是任意二个正奇数,则当是任意二个连续奇数或连续偶数时,有.特别地,若是二个连续的正奇数时,则,且证明:不妨设a,b是任意二个连续偶数,则,由于且都是偶数∴是偶数设,则∴7、设是整系数多项式,且都不能被整除,证明方程没有整数

4、解。证明:对任意整数,利用同余可加性和同余可乘性得∵都不能被整除∴,即没有整数解。文档实用标准文案《初等数论》网络作业31、求不定方程的整数解。解:令,则令,则从而不可能同时为整数∴原不定方程没有整数解2、甲种书每本5元,乙种书每本3元,丙种书1元三本,现用100元买这三种书共100本,问甲、乙、丙三种书各买多少本?解:设甲、乙、丙三种书分别买本,依题意得方程组,消去得,显然是方程的特解因此方程的所有整数解是令,所以,即可以取整数值相应地求得的值分别是3、求的一切整数解。解:因为,而,所以原方程有整数解对不定方程,即,把看做常

5、数,得其通解为文档实用标准文案对不定方程,解得通解为在上述二个式子中消去得,原方程的全部整数解为4、求不定方程的所有正整数解。解:依次解不定方程得和在上述二个式子中消去得,令,则∴∴同理,由得,,把代入得,原不定方程的唯一的正整数解是5、求不定方程的所有整数解。解:由于的系数绝对值最小,∴把原方程变形为令,则令,则逆推上去,依次解得和文档实用标准文案令,则原方程的所有整数解为6、解同余方程解:因为,所以原同余方程只有一个解下面利用同余变形法∵或者∴是原同余方程的解7、解同余方程组解:把第一个方程乘以2,减去第二个方程乘以3得到

6、,即,即,即∴代入得,即,即∴,即∴同余方程组的解是文档

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