2018年浙江省中考数学复习练习：三角形中的证明与计算解答题巩固集训.doc

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1、第四单元　三角形三角形中的证明与计算解答题巩固集训(建议答题时间：50分钟)1.(2017大连)如图，在▱ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上．求证：AE＝CF.第1题图2.在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点P，D分别在边BC、AC上，AP2＝AD·AB.(1)求证：△APD∽△ACP；(2)求∠APD的正弦值．第2题图3.(2017北京)在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点(与点B，C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝C

2、P，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.(1)若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)；(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．第3题图4.(2017株洲)如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC交于点G，连接CF.(1)求证：△DAE≌△DCF；(2)求证：△ABG∽△CFG.第4题图5.(2017重庆)在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M.点C是BM延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB＝3，BC＝5，求AC的长；(2)如图②

3、，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点．求证：∠BDF＝∠CEF.第5题图6.(2017天水)如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求

4、证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．第6题图7.(2017宿州)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.第7题图8.(2017东营)如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE＝30°.(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设B

5、D＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．答案1．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠BAE＝∠DCF，又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠E＝∠F＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF.2．(1)证明：∵AP2＝AD·AB，AB＝AC，∴AP2＝AD·AC，即＝，又∵∠DAP＝∠PAC，∴△APD∽△ACP；(2)解：如解图，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝A

6、C，∴CH＝BC＝×24＝12，由(1)知△APD∽△ACP，∴∠APD＝∠ACP，在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，AH＝＝＝5∴sin∠APD＝sin∠ACP＝＝.第2题解图3．解：(1)∵∠ACP＝90°，∴在Rt△ACP中，∠CAP＋∠APC＝90°，∵HQ⊥AP，∴在Rt△HPQ中，∠Q＋∠HPQ＝90°，又∵∠APC＝∠HPQ，∠CAP＝α，∴∠Q＝α，又∵在等腰Rt△ABC中，∠B＝∠BAC＝45°，∴∠AMQ＝∠B＋∠Q＝45°＋α；【一题多解】在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝

7、∠B＝45°，又∵∠CAP＝α，∴∠HAM＝∠BAC－∠CAP＝45°－α，又∵HQ⊥AP，∴∠AMQ＝90°－∠HAM＝45°＋α.(2)PQ＝BM.证明：如解图，连接AQ，过点M作MN⊥BQ于点N.第3题解图∵∠ACP＝90°，CQ＝CP，∠CAP＝α，∴∠CAQ＝∠CAP＝α，AP＝AQ，PQ＝2CP，又∵∠BAC＝45°，∴∠MAQ＝∠BAC＋∠CAQ＝45°＋α，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴AQ＝MQ，∴AP＝MQ，又∵MN⊥BQ，∴∠ACP＝∠QNM＝90°，在Rt△APC和Rt△QMN中，，∴Rt△APC

8、≌Rt△QMN(AAS)，∴CP＝NM，∴PQ＝2MN，又∵在Rt△BMN中，∠B＝45°，∴BM＝MN，∴PQ＝BM.4．证明：(1)∵∠EDF＝∠ADC＝90°，即∠EDF－∠ADF＝∠ADC－∠ADF，∴∠EDA＝∠FDC，∵△DEF为等腰直角三角形，∴ED＝FD，在△DAE和△DCF中，∴△DAE≌△DCF(SAS)；(2)∵△DAE≌△DCF，∴∠