2018年高考秘籍－破解导数压轴题策略：2导数不等式的证明－放缩法.doc

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1、导数中的不等式证明【考点点睛】放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人扌n案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不

2、容易的事。命题角度1构造函数命题角度2放缩法命题角度3切线法命题角度4二元或多元不等式的证明思路命题角度5函数凹凸性的应用在求解过程中，力求“脑中有'形'，心中有'数‘”•依托端点效应，缩小范围，借助数形结合,寻找临界.命题角度2放缩法【典例2】（石家庄市2018届高三下学期4月一模考试）已知函数/（x）=Cr+b）d—d）（方＞0）,在（_1,/（_1））处的切线方程为@_1）乂+即+—1二0.(2)若m<0f证明：f(x)>iwc2+x.【解析】(1)a=lfh=；(2)由(1)可知/(②二仏+以夕―1),/(0)=0,/(-1)=0,〔借助于已知参数的范围放缩）由m

3、<0,可得x>irvc2+x,令g(x)=(x+1)("-1)一兀，则g'(x)=(x+2)ex-2,当%<-2时，g'(x)=(x+2)/-2<-2<0,当x>-2时，设h(x)=gf(x)=^x+2jex—2,则丹(兀)=(%+3)">0,故函数g'(x)在(-2,+8)上单调递增，又g'(0)=0,所以当X€(-OO,0)时，g3<0,当XG(0,400)时，g3>0,所以函数g(Q在区间(YO,0)上单调递减，在区间(0,+oo)上单调递增，故g(x)>g(0)=0,即(x+1)v-1)>x>ntx2+x.故/(x)>nix1+x.【方法归纳】函数解析式中含有已知范

4、围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标.【典例3】（成都市2018届高中毕业班二诊理科）已知函数/（x）=xlnx+6L¥+l,6/e/?.（1）当无>0时，若关于兀的不等式/（^）>0恒成立，求d的取值范围;（2）当时，证明：—^―

5、两晟字<汗為X—1由（1）知d=-l日寸，Wxx>x-,B

6、JIn.¥>.（本问放缩的途径）x令兀二仝乜〉1,则In竺匕〉」一，（观察结构，合理代换）nnn+站小［2斤+11111所以In>7>7C77=n(斤+1)~(斤+1)(〃+2)77+177+2所以ln22+ln2-+L+ln2—>丄一一=—^―；2n2n+22n+4再证明ln2^nn(n+l)亦即In凹n因为ln^1=21nnvn〃+1—n所以只需证21n”2+1（观察结构，构造函数，合理代换）现证明21nxl).令/?(x)=2lnX--V+—(x>1)X则力‘(兀)=2—i—丄=—fc^

7、hvo,XX所以函数力（兀）在（1,+8）上单调递减,A（x）<7z（l）=O»所以当x>时，2x

8、/（*）="；严.（1）求函数/（X）的单调区间；2?（2）证明：当兀>0时，都有/'（%）ln（%+1）v——.【解析】（1）广⑴=2（m）,令g(x)=l-x—无lnx,贝iJg(l)=O,当0v1时，1一兀>0,—兀lnx>0,所以g(x)>0,/'(x)>0,当兀>1时，l-xv0,-xlnx<0,所以g(x)<0,/'(x)<0,所以函数/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+co)上单调递减；22(1(2)要证明//(x)ln(x+l)<—4--^-,即证(l-x-xlnx)ln(x+l)<1+—x,