2018年高考秘籍－破解导数压轴题策略：5导数不等式的证明－多元不等式策略2.docx

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1、导数中的不等式证明【考点点睛】放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽彖性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效杲，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放

2、缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。命题角度1构造函数命题角度2放缩法命题角度3切线法命题角度4二元或多元不等式的证明思路命题角度5函数凹凸性的应用在求解过程中，力求“脑中有'形'，心中有'数'”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合,寻找临界.命题角度4二元或多元不等式的解证思路【典例7】(2018年安庆市二模)已知函数/(%)=x2--ax+bx曲线j=/(x)在点(1,于(1))处(1)求实数a"的值；(2)设F(x)=/(x)-x2+

3、A72x(me/?),XpX2(O

4、证式变形）思路-:因为0＜心,只需证叶心焉。哙七+卞＞0.即证21n—+】>0.……（运用换元法，构造函数）4/?(0=21nr-r+y(O/?(l)=0,即证21n/-/+l>0.t由上述分析可知F'(/晁)v0.【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把旺,兀2转化为/的函数，常把和勺的关系变形为齐次式，设t=^yt=^,t=x}-x„t=ex^等，构造函数来解决，可称之为构造比较函x2x2数法.思路二：因

5、为0vXiCx,,只需证In£_In吃_[—巴＞0，「少“2（变多元为一元，构造函数）设2(x)=lnx-lnx9一(0v兀v兀J,则~Jx2X~y[x^x-(x-x,*)十x2x1兀+兀2_2y/x^X-X-X2_(反-長)X2y[x^X/x2y/x^X[x2y[x^X/x2所以函数Q（x）在（0,禺）上单调递减，2（^）＞2（^）=0,即证lnx-lnx2＞5==^.y]X2X由上述分析可知F（、辰）＜0.【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构

6、造关于X,(或兀2)的一元函数来处理.应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明.此乃主元法.思路三：要证明只需证旦匚业V7西一七即证14孟〉祸’由对数平均数易得•有指数的则两边取对数，转化为对数此乃对数平均法.【规律总结】极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参,式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解,【知识拓展】对于。>0小04?方，则字>侖侖〉[ab,其中一-~~-—称之为对数In/?-In(722—,解得ci<44平均数.简证如下：不妨设/?=ax{

7、x>1),只需证明％+1>—~>[x即可，即~0时,设旺,花是函数F(x)=/(x)-g(x)两个不同的极值点,证明：西；£<]n(2a).【解析】(1)因为/(x)+g(x)=o,所以『+0?=0,即—a=qX(变量分离，转化为函数性

8、质的研究)设力(兀)=—(兀>0),则//(%)=—~芈-XX所以力(兀)在(0,2)上单调递减，在(2,七。)上单调递增,2力(兀)n力(2)=亍,当兀T0时,方(兀)T+oo,当X—>+00时，/?(%)—>+co,故a的取值范围是e2]—00,4丿要使方程/(兀)+g(%)=0在区间(0,+oo)上有两个不同的实数根，则-【一題多解】本题也可以变形为ax-,转化为过原点的直线y-ax与函数y-一-—图象有两xx个交点问题，应用数形结合思想求解，直线与曲线相切对应所求范围的界点