第十三章简单线性回归

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1、第十三章簡單線性迴歸陳順宇教授成功大學統計系1我們常問下面的兩個問題：(1)是否能由學生的IQ成績預測其大學入學成績？(2)是否能由大學入學數學成績預測其大一微積分成績？2例13.1、某人想了解大學入學考試的數學成績與大一微積分成績(y)的關係，隨機收集15名大一學生成績如下:3抽樣15名大一學生成績資料4大一微積分成績對入學數學成績散佈圖5大一微積分成績對數學成績的迴歸線6例13.2、大華汽車公司12年來汽車銷售量與廣告費資料如下表:7大華汽車公司12年汽車銷售量與廣告費8銷售量對廣告費散佈圖與迴歸線9例1

2、3.3、某研究人員想了解父子身高的關係。隨機收集1000對父親與其已成人的長子身高資料如下101000對父子身高資料111000對父親與其已成人長子身高資料散佈圖12(1)身高有遺傳作用兒子的身高受父親身高的影響，高的父親所生的兒子也會較高。13(2)迴歸效應若上一代的男生平均身高為170公分，而下一代男生的平均身高是173公分，平均身高有上升的現象，14迴歸效應身高較高的父親其兒子的平均身高增加較少；身高較矮的父親其兒子平均身高增加較多，下一代身高有“往中間靠”現象，稱為迴歸效應。上一代父親身高175公分與父親

3、身高165公分相差10公分，下一代兒子平均身高相差可能不到10公分15(3)身高常態分佈且變異數有均質性(亦稱同質性)同樣約175公分身高的父親，其兒子身高也不盡相同，從約169公分到182公分，這些兒子的平均身高比那些父親身高165公分的人之兒子的平均身高要高，16有些175公分高的父親其兒子身高比父親是165公分的兒子身高矮。所有父親身高為175公分這群人有幾十人，他們兒子身高的分佈呈常態分佈(此亦稱條件常態，即有相同的父親身高)，17簡單線性迴歸分析簡介迴歸分析是一種很有用的統計分析方法，它主要是建立變數間

4、的關係式。很不幸的，迴歸(Regression)的名字取得不理想，字義上未能表現出這種方法的重要性及應用，18變數分成兩類，一類是做為預測的提供者，稱為自變數(或獨立變數或稱預測變數)，以x表示另一類是我們真正關心的被預測者，稱為應變數(或依變數或稱準則變數)，以y表示19迴歸的主要目的是建立變數間的因果關係式以便做預測，目標是發展一種能以一個或多個自變數的數值來做為應變數預測的方法。20簡單線性迴歸21迴歸模式步驟當收集到一組資料後，迴歸第一步驟就是估計b0,b1(後面將介紹最小平方法求b0,b1的估計)，22模

5、式評估然後再利用殘差圖評估模式是否合適，如不合適則做修正，直到修正模式評估合適為止，模式修正好後，就能利用建立迴歸模式做預測、解釋及控制等用途2313.3最小平方法當我們針對某問題，收集資料後，想找出迴歸式，第一步驟是做參數估計所謂參數就是上節中的b0,b12425262728最小平方法29以最小平方法求迴歸線30平方和31對b0,b1微分後令其等於032正規方程式33解34也可以表示成35迴歸線也可表示成36注意：(1)迴歸線一定過資料的中心點。(2)相關係數的絕對值必有

6、r

7、1，但迴歸係數的絕對值可以大於1。

8、(3)迴歸係數與相關係數同號(因標準差Sx,Sy恆正)。37例13.4、(例13.1續)求大一微積分成績(y)對數學成績(x)的(1)相關係數(2)迴歸式3815名學生成績5行合計394041(1)相關係數42(2)迴歸係數43迴歸式44以STATISTICA執行結果45例13.5、(例13.2續)求汽車銷售量對廣告費的(1)相關係數(2)迴歸式。465行合計474849(1)相關係數50(2)迴歸式51汽車銷售量對廣告費的迴歸式y=363.6891+1.4202x5213.4簡單線性迴歸評估531.擬合值542.

9、殘差值55正規方程式563.殘差平方和574.解釋變異的比例58總平方和59為什麼是解釋變異的比例呢？60(1)61(2)愈大，表示x提供的訊息對y愈有用62(3)我們也稱判定係數為複相關係數平方63例13.8、(例13.1續)大一微積分成績(y)對數學成績(x)做線性迴歸，求(1)第1筆資料的擬合值與殘差。(2)第2筆資料的擬合值與殘差。(3)殘差平方和。(4)線性迴歸式解釋變異的比例。(5)若某生數學成績是56分，預測其大一微積分成績是多少分？64第1位學生數學成績擬合值65殘差66(2)第2位學生數學成績擬

10、合值67第2位學生的殘差68學生成績線性迴歸擬合值、殘差及殘差平方69殘差平方和7071解釋變異的比例(或判定係數)72(5)某生數學成績56分，預測大一微積分成績73例13.9、(例13.2續)汽車銷售量對廣告費的線性迴歸式，求(1)第1筆資料的擬合值與殘差。(2)殘差平方和。(3)解釋變異的比例。(4)若廣告費為1400，預測汽車銷售量是多少？74(