向量共线定理的证明.doc

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1、向量共线定理的证明向量共线定理向量a与非零向量b共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得b=λa。证明：（1）首先需要证明如果b=λa，那么，向量a与b共线。由数乘向量的定义知：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：│λa│=│λ││a│；当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.由此可知λa与a平行（共线）。对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么，b与λa的模一样大且b与λa的方向同。所以，b与a共线

2、。（2）第二需要证明如果向量a与b共线，那么，b=μa。如果向量a与b共线，则向量a与b方向相同或相反。若b的长度是向量a的长度的μ倍，则有│μa│=│μ││a│；当a与b方向相同时，有μ>0,使得b=μa；当a与b方向相反时，有μ<0,使得b=μa.所以始终有一个μ，使得b=μa。（3）第三需要证明λ存在的唯一性。用反证法证明：假设μ≠λ∵b=μa（（2）的结论）b=λa（（1）的证明假设前提条件“对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么，b与λa的模一样大且b与λa的方向

3、同。”）∴b=b∴μa=λa∵a是非零向量∴μ=λ，而这与μ≠λ的假设矛盾，由此证明λ存在是唯一的。把向量共线定理再表述一遍：向量a与非零向量b共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得b=λa。