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1、1.已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数，，方程f（x）=0有实根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根，反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根。（1）求的值；（3分）（2）若a=0，求的取值范围；（6分）（3）若a=1，f（1）=0，求的取值范围。（7分）解：（1）设是的根，那么，则是的根，则即，所以。（2）因为，所以，则==0的根也是的根。（a）若，则，此时的根为0，而的根也是0，所以，（b）若，当时，的根为0，而的根也是0，当时，的根为0和，而的根不可能为0和，所以必无实数根，所以所以，从而所以当时，
2、；当时，。（3），所以，即的根为0和1，所以=0必无实数根，（a）当时，==，即函数在，恒成立，又，所以，即所以；（b）当时，==，即函数在，恒成立，又，所以，，而，所以，所以不可能小于0，（c）则这时的根为一切实数，而，所以符合要求。所以2.已知，函数（I）当b>0时，若对任意都有，证明（II）当b>1时，证明：对任意，的充要条件是；（III）当时，讨论：对任意，的充要条件。证：（1）依设，对任意，都有因为因为（II）必要性：对任意，据此可以推出即对任意因为b>1，可以推出即充分性：因为，对任意，可以推出：即因为，对任意，可以推出即综
3、上，当b>1时，对任意，的充要条件是（III）解：因为时，对任意：，即；即，即所以，当时，对任意，的充要条件是3.设，如图，已知直线及曲线上的点的横坐标为作直线平行于轴，交直线作直线平行于轴，交曲线的横坐标构成数列（Ⅰ）试求的关系，并求的通项公式；OcylxQ1Q2Q3a1a2a3r2r1（Ⅱ）当时，证明（Ⅲ）当时，证明（Ⅰ）解：∵∴∴，∴（Ⅱ）证明：由a=1知∵∴∵当∴（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，因此=4．已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有和，其中是大于0的常数.设实数a0，a，b满足和(Ⅰ)证明，并且不存在，使
4、得；(Ⅱ)证明；(Ⅲ)证明.证明：（I）任取，则由和②可知，从而.假设有，使得，则由①式知矛盾．∴不存在，使得（II）由③可知④由①式，得⑤由和②式知，⑥由⑤、⑥代入④式，得（III）由③式可知（用②式）（用①式）5.⑴当时，求使成立的的集合；⑵求函数在区间上的最小值（Ⅰ）由题意，当时，由，解得或；当时，由，解得综上，所求解集为(Ⅱ)设此最小值为①当时，在区间[1，2]上，，因为，，则是区间[1，2]上的增函数，所以②当时，在区间[1，2]上，，由知③当时，在区间[1，2]上，若，在区间（1，2）上，，则是区间[1，2]上的增函数，所以
5、若，则当时，，则是区间[1，]上的增函数，当时，，则是区间[，2]上的减函数，因此当时，或当时，，故，当时，，故总上所述，所求函数的最小值6.设a为实数，设函数的最大值为g(a)。（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)（Ⅱ）求g(a)（Ⅲ）试求满足的所有实数a解：（Ⅰ）∵∴要使t有意义，必须∵①∴t的取值范围是由①得∴（Ⅱ）由题意知即为函数的最大值注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。（1）当a>0，函数的图像是开口向上的抛物线的一段，由上单调递增。∴（2）当a=0时，m(t)=t，，∴（3）当a<0
6、时，函数y=m(t)，的图像是开口向下的抛物线的一段。若若若综上有（Ⅲ）解法一：情形1：当由解得矛盾。情形2：当，此时，矛盾。情形3：当，此时所以。情形4：当，此时矛盾。情形5：当，此时由矛盾。情形6：当a>0时，，此时由综上知，满足的所有实数a为：解法二：当当，所以。因此，当当，由当要使，必须有此时。综上知，满足的所有实数a为：7.已知是偶函数且（1）求函数的解析式（2）是否存在实数在区间上的值域为（3）若不等式对于一切恒成立，求实数的取值范围8.设函数的最小值为，的两个实根为（1）求的值（2）若关于的不等式的解集为A，函数在A上不存
7、在最小值，求的取值范围（3）若求的取值范围9.已知函数.(1)试证函数的图象关于点对称;(2)若数列的通项公式为,求数列的前m项和(3)设数列满足:,.设.若(2)中的满足对任意不小于2的正整数n,恒成立,试求m的最大值.解:(1)设点是函数的图象上任意一点,其关于点的对称点为.由得所以,点P的坐标为P.………………(2分)由点在函数的图象上,得.∵∴点P在函数的图象上.∴函数的图象关于点对称.………………(4分)(2)由(1)可知,,所以,即………………(6分)由,………………①得………………②由①＋②,得∴………………(8分)(3)
8、∵,………………③∴对任意的.………………④由③、④,得即.∴.……………(10分)∵∴数列是单调递增数列.∴关于n递增.当,且时,.∵∴………………(12分)∴即∴∴m的最大值为6.……………(14分)1
