考研高等数学部分综合竞赛试题参考答案及评分标准.doc

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1、考研高等数学部分综合竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（每题2分，共32分）1、C2、A3、B4、B5、C6、D7、D8、A9、B10、B11、D12、D13、C14、B15、C16、B二、填空题（每空1分，共49分）17、；18、；为第一类可去间断点，为第二类间断点；19、（1）；（2）；20、；21、；22、；23、；24、；25、26、；27、；28、；29、（1）；；（2）；30、；31、（1）；（2）；32、；33、；34、；35、；36、；37、；38、；39、；40、；41、；42、；43、；44、；45、

2、；46、；；47、；48、；49、；50、；51、；52、；53、；；54、（1）；（2）；55、；56、；57、；三、计算题（每题10分，共90分）58、解：设半径为的球地体积为，则……………………………………(2分)由题意可知圆锥的体积为……………………………………......(3分)要使圆锥的体积最小，则必要使取最小值……………………………………...(4分)故令，即………………………………………...(6分)又由题意可知与间也存在某种函数关系……………………………………………….(7分)故，………………………………

3、………………………………………...(8分)令，解得……………………………………………………………………….(9分)故当时圆锥的体积最小，且…………………………(10分)59、解：（1）由题意可知…………………(1分)由得…………………………………………………..(2分)则………………………….(3分)故；…………………………………………………………………………………(4分)（2）由（1）知即………………………………………………………………………(5分)由（1）知…………………………………………...(6分)由题意…………

4、………………,.(7分)…………………………………………………………………….(8分)易证此极限满足罗必塔法则故………………………….....(9分)………………………………………………………………(10分)60、解：即…………………………………………………………………………….(1分)令得……………………………………………………………………………….(2分)又，故二元函数在上存在驻点…………………………………(3分)又…………………………………………………………(4分)故二元函数在驻点处取得极大值…………………………(5

5、分)综上所述，可知二元函数在驻点处取得极大值，即二元函数在上取得的最大值为，………………………………………..(6分)而其最小值应在边界上取得，即可将问题转化为求解在约束条件下的极值：即可设拉格朗日函数，即……………………………………………..(7分)令得解得…………………………………………………..(8分)故二元函数在约束条件下的驻点为……………………………………(9分)则二元函数在驻点上取得最小值………………………………(10分)61、解：（1）求轨迹令，故动点的切平面的法向量为………………………...(1分)由切平面

6、垂直，得…………………………………………………………(2分)注意到在椭球面上，故所求曲线的方程为：即……………………………………………………………………(3分)（2）计算曲面积分曲线在平面的投影为，……………………………………….(4分)又方程两边分别对求导得……………………………………(5分)解之得，，…………………………………………………(6分)…………………………….(7分)…………………………..(8分)于是…………………(9分)…………………………………………………………………….(10分)62、解：，其中是曲面

7、，……..(1分)…………………………………………..(2分)…………………………………………..(3分)…………………………………………..(4分)………………………………………………………………………..(5分)由于被积函数及其偏导数在点处不连续，………………………………………..(6分)作封闭曲面（内侧）…………………………………….(7分)有…………………………….（8分）……………………(10分)63、解：,……………………………………………………………………..（1分）当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散。…

8、………………………(2分)当时，原级数可化为令，则又故单调递减，即数列单调递减又故可根据莱布尼兹判别法知原级数收敛…………………………………………………….(3分)同理可知当时原级数也收敛，故原级数的收敛半径为，收敛域为………………………………………………...(4分)记，则必有……………………(5分)