高一数学竞赛试题参考答案及评分标准.pdf

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1、2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月14日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）x21．已知集合Ax0，xZ，则集合A中所有元素的和为（）x3A．1B．0C．2D．3【答案】B【解答】由x20，得2x3。又xZ。因此A2，1，，，012。x3所以，集合A中所有元素的和为0。2．已知正三棱锥ABCD的三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直，若三棱锥ABCD外接球的表面积为3，则三棱锥ABCD的体积为（）A4211A．B．C．D．3369【答案】C【解答】设ABACAD

2、a，则三棱锥ABCD外接球的半BD3径Ra。2C3（第2题图）由4R23，得R。211∴a1，三棱锥ABCD的体积Va3。663．已知x为实数，若存在实数y，使得2xy0，且xy2x3y，则x的取值范围为（）A．(4，3)(0，)B．(0，2)(4，)C．(，4)(3，0)D．(，0)(2，4)【答案】C2x【解答】由xy2x3y，得yx3∵2xy0，2xx(x4)∴2x0，即0，解得x4或3x0。x3x3∴x的取值范围为(，4)(3，0)。4．m、n是两条不重合的直

3、线，、是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（）（1）对m、n外任意一点P，存在过点P且与m、n都相交的直线；（2）若m，n∥m，n∥，则；D（3）若m，n，且，则mn；1C1（4）若m∥，n∥，m∥，n∥，则∥。AB11A．1B．2C．3D．4【答案】BDFC【解答】（1）不正确。如图，在正方体ABCDABCD中，1111取m为直线BD，n为直线AC。过点A的直线l如果与直线BD11AEB相交，则l在面ABCD内，此时l与直线AC不相交。11（第4题图）（2）、（3）正确。（4）不正确。如图，正方体ABCD

4、ABCD的面ABCD内取两条与BC平行的直线，如1111图中的直线AD与EF，则有AD∥面BCCB，EF∥面BCCB，AD∥面ABCD，11111111EF∥面ABCD，但面BCCB与面ABCD相交而不平行。11111111115．已知函数f(x)(x22x)(x2mxn)，若对任意实数x均有f(3x)f(3x)，则f(x)的最小值为（）A．16B．14C．12D．10【答案】A【解答】依题意，f(x)的图像关于直线x3对称。∴f(6)f(0)0，f(4)f(2)0。24(366mn)0m10于是，，解得。8

5、(164mn)0n24m10，n24时，f(x)(x22x)(x210x24)x(x2)(x4)(x6)(x26x)(x26x8)。2∴f(x)(x26x)28(x26x)(x3)298(x3)29，2即f(x)(x3)410(x3)29(x3)2516。此时，f(3x)(x25)216，f(3x)(x25)216，符合题意。∴(x3)250，即x35时，f(x)取最小值16。6．已知a，b，cR，若a2b2c21，且(a1)(

6、b1)(c1)abc，则a的最小值为（）1111A．B．C．D．6543【答案】D【解答】由(a1)(b1)(c1)abc，得abcabbccaabc1abc。∴abbccaabc1。设abcx，则abbccax1。∵a2b2c2(abc)22(abbcca)1，∴x22(x1)1，解得x1，即abc1，abbcca0。∴ab(ab)c0，即ab(ab)(1ab)0。∴a2b2abab0，即b2(a1)ba2a0。由a，bR知，△

7、(a1)24(a2a)0。11∴3a22a10，解得a1。因此，a。3312又当a时，代入前面解得，bc。符合题设要求。331∴a的最小值为。3二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知定义在1，0上的函数f(x)log(xm)（a0，且a1）的值域也是1，0，a则am的值为。5【答案】2【解答】当a1时，f(x)在1，0上为增函数，依题意有f(1)log(1m)1a，方程组无解。f(0)log(0m)0a当0a1时，f(x)在1，0上为减函