高中解三角形.doc

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1、1、正弦定理：（是外接圆半径）注1：一般在已知两角一边（包括两角夹边和两角及其中一角的对边）和已知两边及其中一边的对角时使用正弦定理；注2：使用正弦定理可以把次数相等时的所有边转化为对应角的正弦值或把正弦值转化为其对应边；注3：利用正弦定理，我们得到：；注4：利用正弦定理的结构，我们可以判断满足已知两边及其中一边的对角时，三角形解的个数，如图：已知角为锐角时（1）当它的对边，一个（2）当它的对边，没有（3）当它的对边，两个（4）当它的对边，一个已知角为直角或钝角时（1）当它的对边，没有（2）当它的对边，一个注5：三角形

2、中2、余弦定理：，注1：一般在已知两边及夹角或已知三边时常用余弦定理，如果是两边及其中一边的对角，可以建立一元二次方程求解；注2：判断三角形是锐角、直角或钝角时可以利用两边的平方和减第三边的平方的正负来考虑；注3：一个常见的结论：或注4：正余弦定理可以实现边和角的互化。1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinA＝cosB＝，cos

3、A＝sinB＝，tanA＝。2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。（R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3．三角形的面积公式：（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc

4、分别表示a、b、c上的高）；（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；（3）△＝＝＝；（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）（5）△＝；（6）△＝；；（7）△＝r·s。4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三

5、角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。（1）角与角关系：A+B+C=π；（2）边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－bb；（3）边与角关系：正弦定理（R为外接圆半径）；余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA；它们的变形形式有：a=2RsinA，，。5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

6、（1）角的变换因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r为三角形内切圆半径，p为周长之半。（3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。（三）典型例题1：正、余弦定理（2009岳阳一中第四次月考）.已知△中，，，，，，则（）A.．B．C．D．或答案C

7、例2．（1）在ABC中，已知，，，求b及A；解析：（1）∵=cos==∴求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos∴解法二：∵sin又∵＞＜∴＜，即＜＜∴2：三角形面积例3.（2009浙江理）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，．（I）求的面积；（II）若，求的值．解（1）因为，，又由得，（2）对于，又，或，由余弦定理得，例6．（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且求b分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的

8、,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.解法二:由余弦定理得:.又,.所以①又，，即由正弦定理得，故②由①，②解得.评析:从08年高考考纲中就明确提出要