高中数学解三角形讲义整理.doc

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1、解三角形1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形。以下若无特殊说明，均设的三个内角的对边分别为，则有以下关系成立：（1）边的关系：，，（或满足：两条较短的边长之和大于较长边）（2）角的关系：，，，，，，，（3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形板块一：正弦定理及其应用1．正弦定理：，其中为的外接圆半径2．正弦定理适用于两类解三角形问题：（1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；（2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解的可能

2、），再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边【例1】考查正弦定理的应用（1）中，若，，，则_____；（2）中，若，，，则____；（3）中，若，，，则____；（4）中，若，则的最大值为_____。总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在中，已知、、（1）若为钝角或直角，则当时，有唯一解；否则无解。4（2）若为锐角，则当时，三角形无解；当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形有唯一解实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式1．余弦定理：在

3、中，角的对边分别为，则有余弦定理：，其变式为：2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：（1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；（2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决3．三角形的面积公式（1）（、、分别表示、、上的高）；（2）（3）（为外接圆半径）（4）；（5）其中（6）（是内切圆的半径，是三角形的周长）【例】考查余

4、弦定理的基本应用（1）在中，若，，，求；(两边及其夹角)（2）在中，若，，，求边上的高；（三边求高）（3）在中，若，，，求（正弦和余弦结合）4【例】（1）在中，若，，，则中最大角的余弦值为________（2）（10上海理）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则（D）A．不能作出这样的三角形B．作出一个锐角三角形C．作出一个直角三角形D．作出一个钝角三角形（3）以为三边组成一个锐角三角形，则的取值范围为__________【例】考查正余弦定理的灵活使用（1）在中，若，其面积，则_____（2）在中，若，则_____（3）（07天津理）在中，若，，则_____【例】判断满足

5、下列条件的三角形形状（2）；（4）；板块三：解三角形综合问题【例】（09全国2）在中，角的对边分别为、、，，，求【11江西理】在中，角的对边分别是，已知（1）求的值；（2）若，求边的值【11江西文】在中，角的对边分别是，已知（1）求的值；（2）若，，求边的值4灵活应用1、因：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；即; a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC   所以：acosB＋bcosA＝csinCsinAcosB＋sinBcosA＝sin²Csin(A+B)=sin²C又因：A+B=180°-C所以：sin(180°-C)=sin²CsinC-sin²C=0

6、sinC(1-sinC)=0 在△ABC中：sinC≠0；所以：1-sinC=0 sinC=1所以：C=90°；△ABC为直角三角形。就有：a²+b²  =c²；  即：a²  = c²-b²   又因：S△ABC=absinC/2=absin90°/2;=ab/2又：a²=c²-b²      即：S△ABC＝¼(b²＋c²－a²),= ¼（ b²＋c² -  c²  +b²   ）=b²/2                那么： ab/2=b²/2ab-b²=0b（a-b)=0因：b≠0；所以a-b=0；即a=b所以：△ABC是等腰直角三角形。故B=45°。2、由余弦定理，(根号3

7、b-c）cosA=(根号3b-c）（b^2+c^2-a^2）/2bcacosC=a(a^2+b^2-c^2)/2ab=(a^2+b^2-c^2)/2b=(根号3b-c）（b^2+c^2-a^2）/2bc∴(a^2+b^2-c^2)c=(根号3b-c)(b^2+c^2-a^2）展开(b^2+c^2-a^2）=2/(根号3*bc)cosA=（b^2+c^2-a^2）/2bc=1/根号33、a²-b²=√3bcsinC=2√3sinB→2R*sinC