高中数学解三角形辅导讲义

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1、中小学个性化教育专家学科教师辅导讲义学员编号：年级：高中课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题解三角形授课时间：备课时间：教学目标重点、难点正余弦定理的运用考点及考试要求解三角形一、正弦定理在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,则从而在直角三角形ABC中，对于任意的三角形可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1.1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，C同理可得，ba从而过A作单位向量垂直于由　+=两边同乘以单位向量得

2、•(+)=•中小学个性化教育专家则•+•=•∴

3、

4、•

5、

6、cos90+

7、

8、•

9、

10、cos(90C)=

11、

12、•

13、

14、cos(90A)∴∴=同理，若过C作垂直于得：=∴==从而正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；(2）等价于，，从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作

15、解三角形。在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。：根据正弦定理，因为＜＜，所以，或(1)当时，，(2)当时，中小学个性化教育专家，【课堂练习】1、中，则等于（）ABCD2、在△ABC中，已知，B=，C=，则等于A.B.C.D.3、在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则A等于（）A．30°B．60°C．30°或120°D．30°或150°4、在△ABC中，分别是三内角的对边,,,则此三角形的最小边长为（）A．B．C．D．5、在中，B=，C=，c=1，则最短边长为（）A．B．C．D．6、在中，若边，且角，则角C

16、=________；7、在中，已知，则＝________;8、在△ABC中，，则边的值为_________;9、已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且，则的值为________;中小学个性化教育专家10、在中，若，，，则=__________;在解三角形过程中都使用三角形内角和定理，可见，三角形内角和定理在解三角形中的重要应用。应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。(1)定理的表示形式：；或，，(2)正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。一、余

17、弦定理如图1.1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C，求边c。如图1．1-5，设，，，那么c=a-b，=cc=(a-b)(a-b)A=aa+bb-2abbc从而CaB同理可证(图1．1-5)于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即中小学个性化教育专家从余弦定理，又可得到以下推论：从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。勾股定理指出了直角三角形中三边平方之

18、间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？若ABC中，C=，则，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例在△ABC中，已知B=60cm，C=34cm，A=41°，解三角形(角度精确到1°，边长精确到1cm）。(课本P7例3)解：根据余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2·60·34cos41°≈3600+1156-4080×0.7547≈1676.82，所以，a≈41cm.由正弦定理得sinC=≈≈0.5440.因为C不是三角形中最大的边，

19、所以C是锐角.利用算器可得C≈33°,B=180°-(A+C)=180°-(41°+33°)=106°.注：在利用余弦定理解三角形时，也要注意判断有两解的情况中小学个性化教育专家【课堂练习】1、中，若，则A的大小为（）A．B．C．D．2、在△ABC中，若，则∠C=（）A.60°B.90°C.150°D.120°3、在中，，则（　　）A.B.或C.D.4、边长为的三角形的最大角的余弦是（）.A．B．C．D．5、若的内角、、的对边分别为、、，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．或6、在中，分别是三内角的对边，且，则角等于()A．B．C

20、．D．7、中，若那么角=___________8、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，若，则9、△ABC的三个内角，，所对的边分别为，，，，则10、已知是的内角，并且有，则______小结：(