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1、3.4圆周角和圆心角的关系BACDE九年级数学(下)第三章圆1.圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.2.圆也是中心对称图形.它的对称中心就是圆心.知识回顾4.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。5.定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。3.顶点在圆心的角叫做圆心角.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分
2、线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧垂径定理.OAEBDC知识回顾命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧∵CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB∴CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧∵AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，∴CD是直径，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒命题（3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧∵CD是直径，AB是弦，并且A
3、D＝BD（AC＝BC）∴CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD⊥AB⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.OAEBDC知识回顾当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?BACDE●OBACBACBACBACBACBACDE.OBCA特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.●OBACBACBACBACBACBACDE练习：1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。不是不是是不是不是图１图２图３图
4、４图５●OAB议一议:改变∠AOB的度数，上面的结论仍成立吗？一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如何证明圆周角定理？圆周角定理类比圆心角探知圆周角在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。ACO证明圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.●OABC如图,观察弧AB所对的圆周角∠ACB与圆心角∠AOB,它们的大小有什么关系?说说你的
5、想法,并与同伴交流.●OACB●OACB●OACB证明圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系∵∠AOB是△ACO的外角，∴∠AOB=∠C+∠A.∵OA=OC，●OACB∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C.即∠ACB=∠AOB.证明圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的内部时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系会怎样?过点C作直径CD.
6、由1可得:●O∴∠ACB=∠AOB.ACBD∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∠ACD+∠BCD=(∠AOD+∠BOD)证明圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.过点C作直径CD.由1可得:●O∴∠ACB=∠AOB.D∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,ACB∠ACD-∠BCD=(∠AOD-∠BOD),3.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外部时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系会怎样?证明圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.转化转化分类讨论、转化方法小结●OACB●OA
7、CBD●ODACB如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB分别是什么角？它们有何共同点？∠ADB与∠ACB有什么关系？同弧所对的圆周角相等.(等弧)都等于这条弧所对的圆心角的一半.圆周角定理推论:BOADC相等的圆周角所对的弧相等.在同圆或等圆中,在射门游戏中，当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?你能用圆周角定理去解决问题。BACDE●OBACBACBACBACBACBACDE想一想：同弧或等弧所对的圆周角相等。⑴“同弧或等弧”能否改为“同弦
8、或等弦”？⑵“同圆或等圆”这一条件能否省去？不能不能同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。●OBACDE如图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么?BAC●O解：在⊙O中，∠BOC=50°OBACD65431278图中有几对相似三角形？OABC12又∵∠AO
