必修四正切函数的性质与图象(附答案).docx

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1、正切函数的性质与图象[学习目标]　1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．知识点一　正切函数的图象1．正切函数的图象：2．正切函数的图象叫做正切曲线．3．正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．思考　我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图，你能类似地画出函数y＝tanx，x∈[－，]的简图吗？怎样画．答案　能．找三个关键点：(，1)，(0,0)，(－，－1)，两条平行线：x＝，x＝－.知识点二　正切函数图象的性质1．函数y＝tanx

2、(x∈R且x≠kπ＋，k∈Z)的图象与性质见下表：解析式y＝tanx图象定义域{x

3、x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}值域R周期π奇偶性奇单调性在开区间(k∈Z)内都是增函数2.函数y＝tanωx(ω≠0)的最小正周期是.思考　正切函数图象是否具有对称性？如果具有对称性，请指出其对称特征．答案　具有对称性，为中心对称，对称中心为(，0)，k∈Z.题型一　正切函数的定义域例1　(1)函数y＝tan(sinx)的定义域为，值域为．答案　R　[tan(－1)，tan1]解析　因为－1≤sinx≤1，所以tan(－1)≤tan(sinx)≤tan1，所以y＝t

4、an(sinx)的定义域为R，值域为[tan(－1)，tan1]．(2)求函数y＝tan(2x－)的定义域．解　由2x－≠＋kπ，k∈Z得，x≠π＋kπ，所以y＝tan(2x－)的定义域为{x

5、x≠＋kπ，k∈Z}．跟踪训练1　求函数y＝＋lg(1－tanx)的定义域．解　由题意得即－1≤tanx<1.在内，满足上述不等式的x的取值范围是.又y＝tanx的周期为π，所以所求x的范围是[kπ－，kπ＋)(k∈Z)即函数定义域是(k∈Z)．题型二　求正切函数的单调区间例2　求函数y＝tan的单调区间及最小正周期．解　y＝tan＝－tan，由kπ－

6、

7、tanx

8、的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．解　由y＝

9、tanx

10、得，

11、y＝其图象如图：由图象可知，函数y＝

12、tanx

13、是偶函数．函数y＝

14、tanx

15、的周期T＝π，函数y＝

16、tanx

17、的单调递增区间[kπ，kπ＋)(k∈Z)，单调递减区间为(kπ－，kπ)(k∈Z)．跟踪训练3　(1)下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是(0，)上的增函数的是(　　)A．y＝tanxB．y＝cosxC．y＝tanD．y＝

18、sinx

19、答案　A解析　由于y＝tanx与y＝tan是奇函数，但是只有y＝tanx的周期为π，y＝cosx与y＝

20、sinx

21、是偶函数．(2)画出f(x)＝tan

22、x

23、的图象，并根据其图象判断其单调区间，周期性，奇偶

24、性．解　f(x)＝tan

25、x

26、化为f(x)＝根据y＝tanx的图象，作出f(x)＝tan

27、x

28、的图象，如图所示，由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为[0，)，(kπ＋，kπ＋π)(k∈N)；单调减区间为(－，0]，(kπ－π，kπ－)(k＝0，－1，－2，…)．与三角函数相关的函数零点问题例4　当x∈(－π，π)时，确定方程tanx－sinx＝0的根的个数．分析　tanx－sinx＝0的根即为tanx＝sinx的根，也就是y＝tanx与y＝sinx交点的横坐标，所以可根据图形进行分析．解　在同一平面直角坐标系内画出y＝tanx与y

29、＝sinx在(－，)上的图象，如图，由图象可知它们有三个交点，∴方程有三个根．1．下列说法正确的是(　　)A．正切函数在整个定义域内是增函数B．正切函数在整个定义域内是减函数C．函数y＝3tan的图象关于y轴对称D．若x是第一象限角，则y＝tanx是增函数2．函数f(x)＝tan(x＋)的单调递增区间为(　　)A．(kπ－，kπ＋)，k∈ZB．(kπ，(k＋1)π)，k∈ZC．(kπ－，kπ＋)，k∈ZD．(kπ－，kπ＋)，k∈Z3．在下列函数中同时满足：①在上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是(　　)A．y＝tanxB．y＝cosxC．y＝t

30、anD．y＝－tanx4．方程tan＝在区间[0,2π)上的解的个数是(　　)A．5B．4C．3D．25．函数y＝3tan