江苏专用2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5.3平面向量的数量积教案含解析20190831182.docx

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1、§5.3　平面向量的数量积考情考向分析　主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题．1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、·cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b投影

6、a

7、cosθ叫做向量a在b方向上的

8、投影，

9、b

10、cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度

11、a

12、与b在a的方向上的投影

13、b

14、cosθ的乘积拓展：向量数量积不满足：①消去律，即a·b＝a·c⇏b＝c；②结合律，即(a·b)·c⇏a·(b·c)．3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)＝λa·b.(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模

15、a

16、＝

17、a

18、＝20夹角c

19、osθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0

20、a·b

21、与

22、a

23、

24、b

25、的关系

26、a·b

27、≤

28、a

29、

30、b

31、

32、x1x2＋y1y2

33、≤概念方法微思考1．a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？提示　不相同．因为a在b方向上的投影为

34、a

35、cosθ，而b在a方向上的投影为

36、b

37、cosθ，其中θ为a与b的夹角．2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示　不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的数量积是一个实

38、数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)(2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)(3)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)(4)两个向量的夹角的范围是.(　×　)(5)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　×　)题组二　教材改编2．[P90T18]已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.答案　12解析　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－

39、k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3．[P89T8]已知两个单位向量e1，e2的夹角为.若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.答案　－6解析　b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，20则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e.因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝，所以b1·b2＝3－2×－8＝3－1－8＝－6.题组三　易错自纠4．已知向量a，b的夹角为60°，

40、a

41、＝2，

42、b

43、＝1，则

44、a＋2b

45、＝________

46、.答案　2解析　方法一　

47、a＋2b

48、＝＝＝＝＝2.方法二　(数形结合法)由

49、a

50、＝

51、2b

52、＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则

53、a＋2b

54、＝

55、

56、.又∠AOB＝60°，所以

57、a＋2b

58、＝2.5．已知

59、a

60、＝3，

61、b

62、＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角的大小为________．答案　解析　设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，所以θ＝.6．已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.答案　－解析　∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈

63、a，c〉＝120°，

64、a

65、＝

66、b

67、＝

68、c

69、＝1，∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－，∴a·b＋b·c＋a·c＝－.20题型一　平面向量数量积的基本运算1．(2018·全国Ⅱ改编)已知向量a，b满足

70、a

71、＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝________.答案　3解析　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2

72、a

73、2－a·b.∵

74、a

75、＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.2．(2018·苏北四市调研)已知平面向量a与b的夹角等于，若

76、a

77、＝2，

78、b

79、＝3，则

80、2a－3b

81、＝______

82、__.答案　解析　由题意可得a·b＝

83、a

84、·

85、b

86、cos＝3，所以

87、2a－3b

88、＝＝＝＝.3．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为________．答案　3解析　设A(a,2a)，则a＞0.又B(5,0)，故以AB为直径的圆的方程为(x－5)(x－a)＋y(y