（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积 理

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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积理1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、·cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b投影

6、a

7、cosθ叫做向量a在b方向上的投影，

8、b

9、cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度

10、a

11、与b在a的方向上的投影

12、b

13、cosθ的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ

14、为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝

15、a

16、cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝

17、a

18、

19、b

20、；当a与b反向时，a·b＝－

21、a

22、

23、b

24、.特别地，a·a＝

25、a

26、2或

27、a

28、＝.(4)cosθ＝.(5)

29、a·b

30、≤

31、a

32、

33、b

34、.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a

35、＝(x，y)，则

36、a

37、2＝x2＋y2或

38、a

39、＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离

40、AB

41、＝

42、

43、＝.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　√　)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)(3)在四边形ABCD中，＝且·＝0，则四边形ABCD为矩形．(　×　)(4)两个向量的夹角的范围是[0，]

44、．(　×　)(5)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)(6)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)1．已知向量a，b的夹角为60°，且

45、a

46、＝2，

47、b

48、＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于________．答案　30°解析　设向量a与向量a＋2b的夹角为θ.∵

49、a＋2b

50、2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos60°＝12，∴

51、a＋2b

52、＝2，a·(a＋2b)＝

53、a

54、·

55、a＋2b

56、·cosθ＝2×2cosθ＝4cosθ，又a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos60°＝6，∴4cosθ＝6，cosθ＝，∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝3

57、0°.2．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝________.答案　a2解析　如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2，∴BD＝a.∴·＝

58、

59、

60、

61、cos30°＝a2×＝a2.3．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则

62、a

63、＝________.答案　3解析　∵

64、a

65、2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)＝9

66、e1

67、2－12e1·e2＋4

68、e2

69、2＝9－12×1×1×＋4＝9.∴

70、

71、a

72、＝3.4．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．答案　90°解析　由＝(＋)可知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC＝90°，所以与的夹角为90°.5．已知

73、a

74、＝5，

75、b

76、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．答案　－2解析　由数量积的定义知，b在a方向上的投影为

77、b

78、cosθ＝4×cos120°＝－2.题型一　平面向量数量积的运算例1　(1)(2015·四川)设四边形ABCD为平行四边形，

79、

80、＝6，

81、

82、＝4，若点M，

83、N满足＝3，＝2，则·＝________.(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．答案　(1)9　(2)1　1解析　(1)＝＋，＝－＝－＋，∴·＝(4＋3)·(4－3)＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9.(2)方法一　以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为＝(1,0)，所以

84、·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故·的最大值为1.方法二　由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，∴·＝

85、

86、·1＝1，当E运动到