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《2018年高考数学一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积学案理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§5.3 平面向量的数量积考纲展示► 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．考点1 平面向量的数量积的运算1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，
2、即a·b＝________，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度
3、a
4、与b在a的方向上的投影________的乘积．答案：(2)
5、a
6、
7、b
8、cosθ
9、a
10、
11、b
12、cosθ(3)
13、b
14、cosθ2．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝________(分配律)．答案：(3)a·c＋b·c(1)[教材习题改编]在△ABC中，·>0，则△ABC是________三角形．答案：钝角解析：由向量夹角
15、的定义可知，与的夹角为π－B，则·＝
16、
17、
18、
19、cos(π－B)>0，-12-得cos(π－B)>0，∴cosB<0，即角B为钝角，∴△ABC为钝角三角形．(2)[教材习题改编]在▱ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，则·＝________.答案：－4解析：在平行四边形ABCD中，＝，∠BAD＝180°－∠ABC＝120°，∴·＝·＝
20、
21、
22、
23、cos∠BAD＝4×2cos120°＝－4.与平面向量的数量积有关的易错点：投影；向量夹角；运算律．下列说法正确的有________个．①向量b在向量a方向上的投影是向量；②若a·b＞0，则
24、a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角；③(a·b)·c＝a·(b·c)；④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.答案：0解析：①向量b在a方向上的投影是数量，为
25、b
26、cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0；②a·b＞0与a和b的夹角为锐角不等价，a·b＞0还包含a和b同向的情形．同样a·b＜0不仅包含a和b的夹角为钝角，还包含a和b反向的情形；③由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等，故数量积运算不适合结合律，即(a·
27、b)·c≠a·(b·c)；④a·b＝0⇔
28、a
29、
30、b
31、cosθ＝0⇔
32、a
33、＝0或
34、b
35、＝0或cosθ＝0，因此，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b.[典题1] (1)[2017·四川成都模拟]在△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上，且满足＝＝2，若
36、
37、＝2，
38、
39、＝3，∠BAC＝90°，则·＝( )A．1B．－-12-C.D．－[答案] B[解析] 由题知，＝－，＝－＝－，＝＋＝＋＝＋，·＝·(－)＝·－2＋2－·＝－＋2＝－.(2)[2017·安徽合肥联考]已知
40、a
41、＝1，
42、b
43、＝2，a与b的夹角为60°，则a＋b在a上的投
44、影为________．[答案] 2[解析] ∵
45、a＋b
46、2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2×＝7，∴
47、a＋b
48、＝，∴cos〈a＋b，a〉＝＝＝.∴a＋b在a上的投影为
49、a＋b
50、cos〈a＋b，a〉＝×＝2.[点石成金] 向量数量积的两种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝
51、a
52、·
53、b
54、cosθ适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数
55、量积的有关计算问题已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．-12-答案：1 1解析：解法一：如图，·＝(＋)·＝·＋·＝2＝1.·＝(＋)·＝·＋·＝·＝
56、
57、·
58、
59、≤
60、
61、2＝1.解法二：以射线AB，AD为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，∴·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.∵＝(1,0)，-12-∴·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故·的
62、最大值为1.解法三：由图知，无论点E在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，∴·＝
63、
64、·1＝1.当E运动到点B时，在方向上的投影最大即为
65、
66、＝1，∴(·)max＝
67、
68、·1＝1.考点2 平面向量
