《复变函数与积分变换》习题册.doc

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1、《复变函数与积分变换》习题册合肥工业大学《复变函数与积分变换》校定平台课程建设项目资助2018年9月《复变函数与积分变换》第一章习题1.求下列各复数的实部、虚部、模、辐角和辐角主值:31（1）；（2）.1.将下列复数写成三角表达式和指数形式:（1）；（2）.2.利用复数的三角表示计算下列各式:（1）；（2）3.解方程.4.设（是的辐角），求证：.316.指出满足下列各式的点的轨迹或所在范围.（1）；（2），其中为复数，为实常数.（选做）7.用复参数方程表示曲线：连接与的直线段.8.画出下列不等式所确定的图形，指出它们是否为区域、闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？

2、并标出区域边界的方向.31(1)；(2)；9.函数把下列平面上的曲线映射成平面上怎么样的曲线？（1）；（2）；（3）.10.试证：不存在.《复变函数与积分变换》第二章习题1.用导数定义求的导数.312.下列函数在何处可导，何处不可导？何处解析，何处不解析？（1）；（2）；3.试讨论的解析性，并由此回答：若复变函数中的和均可微，那么一定可导吗？4.设为解析函数，试确定的值.315.设在区域D内解析，试证明在D内下列条件是彼此等价的：（1）常数；（2）常数；（3）解析.6.试解下列方程：（1）；（2）；（3）.317.求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.8.等式是否正确？请给出理由.《复变函

3、数与积分变换》第三章习题3.1复积分的概念与基本计算公式311.计算积分，其中C为从原点到点1+i的直线段.2．计算积分的值，其中C为3.当积分路径是自沿虚轴到，利用积分性质证明：3.2柯西古萨基本定理311.计算积分,其中C为2.计算积分,其中C为.3.3基本定理的推广1.计算积分,其中C为正向圆周与负向圆周所组成。311.计算积分,其中C为包含圆周在内的任何正向简单闭曲线。3.4原函数与不定积分1.2.313.5柯西积分公式1．计算下列积分（1），其中，正向；（2），其中，正向；（3），正向312.计算积分,其中C为(1)(2)(3)3.已知求313.6高阶导公式1．计算下列积分(1)，

4、其中，正向(2),其中，正向(3),其中，正向，312.已知，求3.7解析函数与调和函数的关系1.已知是某一解析函数的虚部，求2.设为解析函数，已知，.（1）求的表达式；（2）求313.已知调和函数，求调和函数，使成为解析函数，并满足4.设，求的值使得为调和函数，并求出解析函数315.证明：都是调和函数，但不是解析函数.6.证明：若是解析函数，则是的共轭调和函数31《复变函数与积分变换》第四章习题4-1复数项级数1.下列数列是否收敛？如果收敛，则求出它们的极限：（1）；（2）．２．下列级数是否收敛？若收敛，则判别是绝对收敛还是条件收敛．（1）；（2）；（3）．３．幂级数能否在处收敛，在处发散

5、？　314-2幂级数1.级数的收敛半径，且在收敛圆周的某一点处级数绝对收敛，证明级数在闭圆盘上绝对收敛．2.下列幂级数的收敛半径：（１）；（２）；（３），其中为正实数　314-3泰勒级数1．设有级数展开式，问级数的收敛半径是多少？并说明理由．　2．把下列函数展开为的幂级数，并指出展开式成立的范围：（１）；（２）．　313．求下列函数在指定点处的泰勒级数展开式，并指出它们的收敛半径：（１）；（２）．　4-4洛朗级数1．函数能否在圆环域内展开为洛朗级数？为什么？　312．把下列函数在指定的圆环域内展开为洛朗级数：（１）；（２），分别在圆环域及内展开；（３）．　3．利用洛朗级数展开式求积分的值，其

6、中为正向圆周．　31《复变函数与积分变换》第五章习题5-1孤立奇点１．下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级数：（１）；（２）；（３）；（４）；（５）．31２．设函数与分别以为级与级极点，那么下列三个函数（１）；（２）；（３）．在处各有什么性质？315-2留数１．求下列函数在各有限奇点处的留数：（１）；（２）；（３）；　31２．计算下列各积分，为正向圆周：（1）；　　　　（2）；（3），其中为整数；（4）．31*３．利用无穷远点的留数计算下列积分：(1)正向；（２）正向．5-3留数在定积分计算中的应用１．计算下列积分：（１）；（２）；（３）．31《复变函数与积分变换》第六章习题1、求矩

7、形脉冲函数的傅氏变换，并验证。2、求函数的傅氏变换，并证明成立。3、求正弦函数的傅氏变换。311、求正弦函数的傅氏变换。2、利用傅氏变换的性质求函数的傅氏变换。3、求函数与的卷积。31《复变函数与积分变换》第七章习题1、求的拉普拉斯变换。2、求的拉普拉斯变换。3、求的拉普拉斯变换。311、求的拉普拉斯变换。2、求下列函数的拉普拉斯逆变换：（1）；（2）。3、利用拉普拉斯变换求微分方程的解：317、用Lapla