5、代入上式,得.因此令,得其中a为复数.反之也成立,故所求分式线性映射为,a为复数...7.若分式线性映射,将圆周
6、z
7、=1映射成直线则其余数应满足什么条件?解:若将圆周
8、z
9、=1映成直线,则映成.而落在单位圆周
10、z
11、=1,所以,
12、c
13、=
14、d
15、.故系数应满足ad-bc0,且
16、c
17、=
18、d
19、.8.试确定映射,作用下,下列集合的像.(1);(2)
20、z
21、=2;(3)Im(z)>0.解:(1)Re(z)=0是虚轴,即z=iy代入得.写成参数方程为,,.消去y得,像曲线方程为单位圆,即u2+v2=1.(2)
22、z
23、=2.是一圆围,令.代入得化为参数方程.消去得,像曲线方程
24、为一阿波罗斯圆.即(3)当Im(z)>0时,即,令w=u+iv得.即v>0,故Im(z)>0的像为Im(w)>0.9.求出一个将右半平面Re(z)>0映射成单位圆
25、w
26、<1的分式线性变换.解:设映射将右半平面z0映射成w=0,则z0关于轴对称点的像为,所以所求分式线性变换形式为其中k为常数.又因为,而虚轴上的点z对应
27、w
28、=1,不妨设z=0,则..故.10.映射将映射成,实数的几何意义显什么?解:因为从而所以故表示在单位圆内处的旋转角.11.求将上半平面Im(z)>0,映射成
29、w
30、<1单位圆的分式线性变换w=f(z),并满足条件(1)f(i)=0,=0;(
31、2)f(1)=1,f(i)=.解:将上半平面Im(z)>0,映为单位圆
32、w
33、<1的一般分式线性映射为w=k(Im()>0).(1)由f(i)=0得=i,又由arg,即,,得,所以.(2)由f(1)=1,得k=;由f(i)=,得k=联立解得.12.求将
34、z
35、<1映射成
36、w
37、<1的分式线性变换w=f(z),并满足条件:(1)f()=0,f(-1)=1.(2)f()=0,,(3)f(a)=a,.解:将单位圆
38、z
39、<1映成单位圆
40、w
41、<1的分式线性映射,为..,
42、
43、<1.(1)由f()=0,知.又由f(-1)=1,知.故.(2)由f()=0,知,又,于是.(3)先
44、求,使z=a,,且
45、z
46、<1映成
47、
48、<1.则可知再求w=g(),使=0w=a,,且
49、
50、<1映成
51、w
52、<1.先求其反函数,它使
53、w
54、<1映为
55、
56、<1,w=a映为=0,且,则.因此,所求w由等式给出..13.求将顶点在0,1,i的三角形式的内部映射为顶点依次为0,2,1+i的三角形的内部的分式线性映射.解:直接用交比不变性公式即可求得∶=∶...=..14.求出将圆环域2<
57、z
58、<5映射为圆环域4<
59、w
60、<10且使f(5)=-4的分式线性映射.解:因为z=5,-5,-2,2映为w=-4,4,10,-10,由交比不变性,有∶=∶故w=f(z)应为∶=∶即=.讨论
61、求得映射是否合乎要求,由于w=f(z)将
62、z
63、=2映为
64、w
65、=10,且将z=5映为w=-4.所以
66、z
67、>2映为
68、w
69、<10.又w=f(z)将
70、z
71、=5映为
72、w
73、=4,将z=2映为w=-10,所以将
74、z
75、<5映为
76、w
77、>4,由此确认,此函数合乎要求.15.映射将z平面上的曲线映射到w平面上的什么曲线?解:略.16.映射w=ez将下列区域映为什么图形.(1)直线网Re(z)=C1,Im(z)=C2;(2)带形区域;(3)半带形区域.解:(1)令z=x+iy,Re(z)=C1,z=C1+iy,Im(z)=C2,则z=x+iC2故将直线Re(z)映成圆周;直线Im
78、(z)=C2映为射线.(2)令z=x+iy,,则故将带形区域映为的