复变函数与积分变换习题答案.docx

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1、《复变函数与积分变换》作业参考答案习题1：4、计算下列各式(1)；(3)；(5)，求，，；(7)。解：(1)；(3)；(5)，，．(7)因为，所以，即时，；时，；时，；时，；时，；时，．习题2：3、下列函数在何处可导？何处解析？在可导点求出其导数．(2)；(4)(6)。解：(2)因为，，，，，．这四个一阶偏导数都连续，故和处处可微，但柯西-黎曼方程仅在上成立，所以只在直线上可导，此时，但复平面上处处不解析．16(4)因为，，，，，．这四个一阶偏导数都连续，故和处处可微，且满足柯西-黎曼方程，所以在复平面内解析，并且．(6)所以，在除外处处解析，且．4、指出下列函数的奇点．

2、(1)；(2)．解：(1)所以，的奇点为0，．(2)所以，的奇点为，．10、如果在区域内解析，并且满足下列条件之一，试证在内是一常数．(2)在内解析；证明：由在区域内解析，知、在区域内可微，且，．同理，由在内解析，知，．从而我们得到，所以、皆为常数，故在内是一常数．15、求解下列方程：(2)解：，于是18、求，的值及主值．解：，所以其主值为；16，所以其主值为．19、求，，，的值．解：；；；．20、求，，，，的值．解：；；；；22、解方程：(1)；解：，．习题3：1、沿下列路径计算积分：(1)从原点至的直线段；(2)从原点沿实轴至2，再由2铅直向上至；(3)从原点沿虚轴至

3、，再由沿水平方向向右至．解：(1)从原点至的直线段的复参数方程为，，参数，所以(2)从原点沿实轴至2的直线段的复参数方程为，参数，由2铅直向上至的直线段的复参数方程为，参数，所以16(3)从原点沿虚轴至的直线段的复参数方程为，参数，由沿水平方向向右至的复参数方程为，参数，所以2、分别沿与算出积分的值．解：的复参数方程为，，参数所以；的复参数方程为，，参数所以5、计算积分的值，其中为正向圆周：(1)解：设是内以被积函数的奇点为圆心的正向圆周，那么6、试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？是正向圆周：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解：(1)

4、，根据柯西积分定理；(2)，根据柯西积分定理；(3)，根据柯西积分定理；(4)，根据复合闭路定理；(5)，根据柯西积分定理；16(6)，根据柯西积分定理及复合闭路定理．7、沿指定曲线的正向计算下列积分：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，；(5)，；(6)，为包围的闭曲线；(7)，；(8)，；(9)，；(10)，．解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；16(8)；(9)；(10)．21、证明：和都是调和函数，但是不是解析函数．证明：因为，，，，，，，，所以，，且，．即和都是调和函数，但是不是解析函数．22、由下列各已知调和函数求解析函数，并写出的表

5、达式：(1)；(2)，；(3)，．解：(1)因为是调和函数，所以，．于是．那么，则，所以，(2)，．因为是调和函数，所以16，从而．由知，所以．(3)因为是调和函数，所以，．于是．那么，则，所以，由知，所以．习题4：1、下列数列是否收敛？若收敛，求其极限．(1)；(2)；(3)；(4)．解：(1)，当时，实部，虚部，所以收敛于．(2)，当时，那么，所以收敛于0．(3)当时，实部是发散的，所以发散．(4)，实部和虚部都发散，所以发散．2、判断下列级数的收敛性与绝对收敛性：(1)；(3)．解：(1)记，则当时，那么不趋近于0，所以级数16发散．(3)收敛，即级数绝对收敛，所以

6、收敛．7、将下列各函数展成的幂级数，并指出它们的收敛半径．(1)；(3)．解：(1)．因为，所以收敛半径．(3)因为，所以收敛半径．8、将下列各函数在指定点处展成泰勒级数，并指出它们的收敛半径．(3)，；(4)，；(6)，．解：(3)，则．因为，所以收敛半径．(4)，则．因为，所以收敛半径．(6)．因为，所以收敛半径．10、求下列各函数在指定圆环域的洛朗级数展开式：16(2)，，；(5)，在以为中心的圆环域内；(7)，．解：(2)在内，由于，且，所以，从而．在内，由于，所以，从而．(5)当时，由于，且，所以，从而．当时，由于，所以，且，从而，所以．(7)由于且，所以16习

7、题5：1、求下列函数的孤立奇点并确定它们的类别，若是极点，指出它们的级．(1)；(3)；(4)；(7)；(11)．解：(1)易见，是的孤立奇点．由于，，所以，是极点．，一级极点，，二级极点．(3)，所以是极点．，二级极点．(4)易见是的孤立奇点，且，所以是可去奇点；(7)，三级极点，，一级极点；(11)，本性奇点．5、求下列各函数在有限奇点处的留数．(2)；(3)；(6)．解：(2)记，则易见，是的孤立奇点，且他们都是一级极点．由规则Ⅰ，，，．(3)记，则有二级极点．由规则Ⅱ，，．(6)记，则有本性奇点．因为在的去心邻域内的洛