①二次函数的图像与性质.docx

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1、二次函数的图像与性质知识梳理知识点一二次函数的概念一、二次函数的定义1.一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.2.任何二次函数都可以整理成（为常数，）的形式．3.判断函数是否为二次函数的方法：①含有一个变量，且自变量的最高次数为2；②二次项系数不等于0；③等式两边都是整式．4.二次函数自变量的取值范围是全体实数．二、二次函数图象的画法：五点绘图法1.利用配方法将二次函数化为顶点式2.确定其开口方向、对称轴及顶点坐标3.在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交

2、点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．知识点二二次函数的图象性质一、二次函数的性质1.抛物线的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是（轴）.2.函数的图象与的符号关系.①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.12二、二次函数的性质1.抛物线的顶点是坐标原点（0，c），对称轴是（轴）.2.函数的图象与的符号关系.①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.3.函数的图象可以看做是由函数的图象向上或向下平移个单位得到的.三、二次函数的性质1.对称轴：2.顶点坐标

3、：3.最值：①时有最小值（如图1）②时有最大值（如图2）4.单调性：二次函数（）的变化情况（增减性）①当时，对称轴左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大；②当时，对称轴左侧，随着的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小；四、二次函数的性质1.对称轴：2.顶点坐标：3.最值：12时有最小值（如图1）时有最大值；（如图2）五、二次函数的性质1.对称轴：2.与轴的交点坐标为六、二次函数的图象与系数的关系1.的符号决定抛物线的开口方向：当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．2.决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大．3

4、.和共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：）当时，抛物线的对称轴为轴；当、同号时，对称轴在轴的左侧；当、异号时，对称轴在轴的右侧．简要概括为“左同右异”．4.的大小决定抛物线与轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为）当时，抛物线与轴的交点为原点；当时，交点在轴的正半轴；当时，交点在轴的负半轴．七、根据二次函数的图象判断代数式符号1.决定了函数图象与轴的交点情况：当，有两个交点；当，有一个交点；当，没有交点．2.当时，可以得到的值；当时，可以得到的值典型例题题型一：二次函数的定义12例1.(★)下列函数中是二次函数的是（）A．B．C．D．【考点】二次函数解析式

5、的判断【解析】A.二次函数解析式是整式；B.最高次是是三次；C.化简后不存在二次项；D.正确【答案】D【教学建议】解析式的三个要点：1、整式；2、最高次是二次；3、二次项系数不为零。例2.(★)指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．⑴；（2）；（3）；【考点】二次函数解析式的各项系数的辨析【解析】各项系数应带其前面的符号；化简成一般形式【答案】（1）1,0,0（2）2，-1,-1（3）-1,1,0【教学建议】判断二次函数一般形式下的a、b、c，需要带其前面的符号题型二：二次函数的图像与性质例3.(★)在同一平面直角坐标系中作出下列函数图象：；；；；并

6、探究二次函数开口大小与之间的关系12【考点】二次函数的图像开口与系数a的关系【解析】二次函数图像——五点作图法；分析不同a跟抛物线开口的关系；【答案】图略；a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；越大，二次函数图像开口越小例4.(★)已知函数是关于的二次函数，求⑴满足条件的的值⑵为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时，抛物线的开口方向、增减性如何？⑶为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时抛物线的开口方向、增减性如何？【考点】二次函数的性质【解析】（1）由得：m=-3或m=2；（2）当a＞0时，抛物线开口向上，有最低点，所以m=2；在x＜2时，y随x的

7、增大而减小，在x＞2时，y随x的增大而增大（3）当a＜0时，抛物线开口向下，有最高点，所以m=-3；在x＜-3时，y随x的增大而增大，在x＞-3时，y随x的增大而减小【教学建议】通过图像引导记忆二次项系数a对二次函数图像的影响．题型三：二次函数的图象与性质例5.(★)在同一平面直角坐标系中作出下列函数图象：；；；并回答下列问题①抛物线、、的形状是否发生改变？②对称轴是否发生改变？③将抛物线向______平移________单位得到④将抛物线向______平移________单位得到【考点】二次函数的图象与平移【解析】图略；①否；②否；③上，2；④下，3；12【教

8、学建议】理解是由平移得到