2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程讲义新人教A版选修2.doc

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1、2.1.2　求曲线的方程求曲线方程的一般步骤1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方程也不一样．(　　)(2)化简方程“

2、x

3、＝

4、y

5、”为“y＝x”是恒等变形．(　　)(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验．(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)在平面直角坐标系内，到原点距离为2的点M的轨迹方程是________．(2)直角坐标平面xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是______________

6、__________________________________________．(3)已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足

7、PA

8、＝3

9、PO

10、，则点P的轨迹方程是_________________________________________________________________．答案　(1)x2＋y2＝4　(2)x＋2y－4＝0(3)8x2＋2x＋8y2－4y－5＝0　　　　　　　　　　　　　　　　探究1　　直接法求曲线方程-7-例1　A为定点，线段BC在定直线l上滑动．已知

11、BC

12、＝4，A到l的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程．[

13、解]　解法一(直接法)：建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，A点在y轴上(如图所示)，则A(0,3)．设外心P(x，y)，∵P在BC的垂直平分线上，∴B(x＋2,0)，C(x－2,0)．∵P也在AB的垂直平分线上，∴

14、PA

15、＝

16、PB

17、，即＝.化简，得x2－6y＋5＝0.这就是所求的轨迹方程．解法二(参数法)：建立坐标系，得A(0,3)．设BC边的垂直平分线的方程为x＝t，①则点B的坐标为(t＋2,0)，于是AB的中点是.从而AB的垂直平分线方程为y－＝.②由①②式消去t，得x2－6y＋5＝0，即为所求．拓展提升求曲线方程分直接法和间接法，直接法的步骤如下：①建立适当

18、坐标系；②设出动点坐标M(x，y)；③写出动点M满足的条件等式；④将条件等式坐标化；⑤验证满足所求方程的点是否均在曲线上．【跟踪训练1】　已知在直角三角形ABC中，∠C为直角，点A(－1,0)，点B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程．-7-解　如图，设C(x，y)，则＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)．∵∠C为直角，∴⊥，即·＝0.∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0，化简得x2＋y2＝1.∵A，B，C三点要构成三角形，∴A，B，C三点不共线，∴y≠0.∴点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．探究2　　定义法求曲线方程例2　已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原

19、点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．[解]　如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ.设M为OC的中点，则M的坐标为.∵∠OPC＝90°，∴动点P在以点M为圆心，OC为直径的圆上，由圆的方程得2＋y2＝(0

20、OM

21、＝

22、AB

23、＝3.所以

24、M的轨迹是以原点O为圆心，以3为半径的圆，故点M的轨迹方程为x2＋y2＝9.探究3　　相关点法(代入法)求曲线的方程例3　已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．[解]　设△ABC的重心为G(x，y)，顶点C的坐标为(x1，y1)．由重心坐标公式得所以代入y1＝3x－1，得3y＋2＝3(3x＋2)2－1，所以y＝9x2＋12x＋3即为所求轨迹方程．拓展提升代入法的定义及解题步骤(1)定义若动点P依赖于已知曲线上的动点M，借助于动点M求动点P的轨迹方程的方法通常叫代入法，又叫相关点法(动点M叫相

25、关动点)．(2)求解步骤①设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)；②利用条件求出两动点坐标之间的关系③代入相关动点的轨迹方程；④化简、整理，得所求轨迹方程．其步骤可总结为“一设二找三代四整理”．【跟踪训练3】　动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹．-7-解　设动点P(x，y)，M(x0，y0)．因为P为MB的中点，且B(3,0)，所以则又因为M在曲线x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，所以2＋y2＝.因此点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆．1.求解曲线方程的步骤(1)第一步在具体问题中有两种情况：①