2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程学案 新人教a版选修2-1

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1、2.1.2　求曲线的方程学习目标　1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.知识点一　坐标法的思想思考1　怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案　只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.思考2　依据一个给定的平面图形，选取的坐标系惟一吗？答案　不惟一，常以得到的曲线方程最简单为标准.梳理　(1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程

2、的性质间接地来研究曲线性质的方法.(2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程.②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质.知识点二　求曲线的方程的步骤类型一　直接法求曲线的方程例1　一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.解　设P(x，y)，则

3、8－x

4、＝2

5、PA

6、.则

7、8－x

8、＝2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.引申探究若本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程.解　据题设P(x，y)，则P到直线y＝8的距离d＝

9、y－8

10、，又

11、PA

12、＝，故

13、y－8

14、＝

15、2，化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.反思与感悟　直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.跟踪训练1　已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列.求点P的轨迹方程.解　设点P(x，y)，由M(－1，0)，N(1，0)，得

16、＝－＝(－1－x，－y)，＝－＝(1－x，－y)，＝－＝(2，0).∴·＝2(x＋1)，·＝x2＋y2－1，·＝2(1－x).于是，·，·，·成公差小于零的等差数列等价于即∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x>0).类型二　代入法求解曲线的方程例2　动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.解　设P(x，y)，M(x0，y0)，因为P为MB的中点，所以即又因为M在曲线x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1.所以P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.反思与感悟　代入法求解轨迹方程的步骤(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y

17、0).(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系(3)代入相关动点的轨迹方程.(4)化简、整理，得所求轨迹方程.跟踪训练2　△ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程.解　如图所示，以BC所在的定直线为x轴，以过A点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b).设△ABC的外心为M(x，y)，作MN⊥BC于N，则MN是BC的垂直平分线.∵

18、BC

19、＝2a，∴

20、BN

21、＝a，

22、MN

23、＝

24、y

25、.又M是△ABC的外心，∴M∈{M

26、

27、MA

28、＝

29、MB

30、}.而

31、MA

32、＝，

33、MB

34、＝＝，∴＝，化简，得所求轨迹方程为x

35、2－2by＋b2－a2＝0.类型三　根据曲线的方程求两曲线的交点例3　过点M(1，2)的直线与曲线y＝(a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.解　当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，不可能与曲线有两个公共点.设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，联立曲线方程，得消去x，得y2－(2－k)y－ka＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点.∴Δ＝(2－k)2＋4ka>0.设方程①的两根分别为y1，y2，由根与系数的关系，得y1＋y2＝2－k.又∵y1＋y2＝a，∴k＝2－a，代入Δ>0中，得a2＋4a(2－a

36、)>0，解得0