2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程学案 新人教A版选修2-1

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1、2．1．1　曲线与方程2．1．2　求曲线的方程　1．了解曲线与方程的概念．　2．理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义．　3．掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤．1．曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．2．求曲线的方程的步骤判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)x2＋

2、y2＝1(x＞0)表示的曲线是单位圆．(　　)(2)若点M(x，y)的坐标是方程f(x，y)＝0的解，则点M在曲线f(x，y)＝0上．(　　)(3)方程y＝x与方程y＝表示同一曲线．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×方程x＋y－1＝0(0≤x≤1)表示的曲线是(　　)A．直线　　　　　　　　B．射线C．线段D．平面区域答案：C已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是(　　)A．一条直线B．一条直线去掉一点C．一个点D．两个点答案：B已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足

3、PA

4、＝2

5、PB

6、，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于(　　)A．π

7、B．4πC．8πD．9π答案：B已知方程x2＋y2＝5表示的曲线经过点A(，m)，则m的值为__________．答案：±探究点1　曲线与方程的概念　(1)已知0≤α＜2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为(　　)A．　　　　　　　　　　B．C．或D．或(2)“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【解析】　(1)将点P的坐标代入曲线(x－2)2＋y2＝3中，得(cosα－2)2＋sin2α＝3，解得cosα＝．又0≤α＜2π，所以

8、α＝或．故选C．(2)“曲线C的方程是f(x，y)＝0”包括“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”和“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”两个方面，所以“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的必要不充分条件，故选C．【答案】　(1)C　(2)C判定曲线和方程对应关系的两个关注点(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性．[注意]　只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．　　1．已知直线l

9、：x－y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(4，1)(　　)A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，但在曲线C上D．不在直线l上，也不在曲线C上解析：选B．将点M的坐标分别代入直线l的方程和曲线C的方程，都成立，所以选B．2．已知坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上，下列命题正确的是(　　)A．曲线C上的点的坐标都满足方程F(x，y)＝0B．不在曲线C上的点的坐标都不满足方程F(x，y)＝0C．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上D．曲线C是坐标满足方程F(x，y)＝0的点的轨迹解析：选B．因为选项B与已知条件互为逆

10、否命题，由原命题与它的逆否命题同真假可知B正确．故选B．探究点2　由方程判断曲线　(1)如图所示，方程y＝表示的曲线是(　　)(2)方程(x＋y－1)＝0表示的曲线是什么？【解】　(1)选B．因为y＝＝所以函数值恒为正，且在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．故选B．(2)由方程(x＋y－1)＝0，可得或即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1．故方程表示一条射线x＋y－1＝0(x≥1)和一条直线x＝1．[变条件]若把本例(2)中的方程变为“(x2＋y2－1)·＝0”，判断方程表示的曲线是什么．解：由方程(x2＋y2－1)＝0得或即点(1，0)或x＝1，故方程表示直线x＝1或点(1，0

11、)．(1)方程表示的曲线的判断步骤(2)判断方程表示曲线的注意事项①方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．②当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．　　1．方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形是(　　)A．前后两者都是一条直线和一个圆B．前后两者都是两个点C．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点D．前者是两点，后者是一条直线和一