高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.2由曲线求它的方程由方程研究曲线的性质课堂导学案新人教b版选修2

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1、2.1.2由曲线求它的方程由方程研究曲线的性质课堂导学三点剖析一、利用五步法求曲线的方程求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程.建坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单.根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式.仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等关系,结合基本公式列出等式，并进行化简.【例1】设A、B两点的坐标分别是(1，0)、(-1，0)，若kMA·ｋＭＢ＝－１，求动点M的轨迹方程.解析:设M的坐标为(x，y)，M属于集合P=｛Ｍ｜ｋＭＡ·ｋ

2、ＭＢ＝－１｝.由斜率公式，点M所适合的条件可表示为·=-1(x≠±1)，整理后得x2+y2=1(x≠±1).下面证明x2+y2=1(x≠±1)是点M的轨迹方程.(1)由求方程的过程可知，M的坐标都是方程x2+y2=1(x≠±1)的解；(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程x2+y2=1(x≠±1)的解，即x12+y12=1(x1≠±1)，y12=1-x12(x1≠±1)，·=-1，∴kＭ1Ａ·ｋＭ1Ｂ＝－１.由上述证明可知，方程x2+y2=1(x≠±1)是点M的轨迹方程.温馨提示(1)所求的方程x2＋y2＝１后面应加上条件ｘ≠±１.(2)证明可以省略不写.二、坐标法在平面几何中的应用【例2】

3、用坐标法证明平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和.证明:如右图所示，取坐标轴和矩形边平行建立坐标系，设P（x，y）为任意点，矩形四个顶点为A(x1，y1)、C(x2，y2)、B(x1，y2)、D(x2，y1)，则有｜PA｜2+｜PC｜2=（x1-x）2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2，｜PB｜2+｜PD｜2=(x1-x)2+(y2-y)2+(x2-x)2+(y1-y)2.∴｜PA｜2+｜PC｜2=｜PB｜2+｜PD｜2.温馨提示在上述证明中，若选取矩形的邻边AB、BC所在直线分别为y轴和x轴，那么矩形的四个顶点坐标为A(0，y1)

4、，B(0，0)，C(x1，0)，D(x1，y1),这样数据更简单，运算更简便了.因此用坐标法解题，坐标系选取得适当，可以简化运算过程.三、求曲线方程的常用方法【例3】过抛物线y2=4x的顶点O作相互垂直的弦OA、OB，求抛物线顶点O在AB上的影射M的轨迹方程.解析:设A（x1，y1）、B（x2，y2），代入抛物线方程并作差得kAB==，∴直线AB的方程lAB∶y-y1=（x-x1）.注意到y12=4x1，y1y2=-16（∵kOA·kOB=-1，∴·=-1=-1y1y2=-16），即得（y1+y2）y+16=4x.又直线OM的方程为y=，由（x2+y2-4x=0（x≠0）即为所求的轨迹方程.温

5、馨提示由（*）消去y1+y2所得方程为所求，是因为由（*）解出x、y（用y1+y2作已知）得到的是点M的坐标，而点M的坐标的关系式（即消去y1+y2得x、y的关系）为动点M的轨迹方程.显然这样做与直接过渡其关系式是一样的.另外本题还可以设OA的斜率为k，类似于上面的方法求M的轨迹方程.各个击破类题演练1若点M到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M的轨迹方程.解析：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如右图所示.设点M的坐标为（x，y），点M的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合P={M

6、

7、MR

8、=

9、MQ

10、}，其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足.因为点M到x轴、y轴的距离

11、分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件

12、MR

13、=

14、MQ

15、可写成

16、x

17、=

18、y

19、，即x±y=0.①下面证明①是所求轨迹的方程.（1）由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；（2）设点M1的坐标（x1，y1）是方程①的解，那么x1±y1=0，即

20、x1

21、=

22、y1

23、，而

24、x1

25、、

26、y1

27、正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离相等，点M1是曲线上的点.由（1）（2）可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如上图所示.变式提升1已知A(2，5)、B(3，-1)，则线段AB的方程是（）A.6x+y-17=0Ｂ.6x+y-17=0(x≥3)Ｃ.6x+y-17=0(x≤3)Ｄ.6x+

28、y-17=0(2≤x≤3)答案：D类题演练2若点M到两坐标轴的距离的积为2006，求点M的轨迹方程.答案：xy=±2006变式提升2在△ABC中，已知顶点A（1，1）、B（3，6）且△ABC的面积等于3，求顶点C的轨迹方程.解析：如右图，设顶点C的坐标为(x，y)，作CH⊥AB于H，则动点C属于集合P=｛C｜｜AB｜·｜ＣＨ｜＝3｝.∵ｋ下标ＡＢ＝，∴直线AB的方程是y-1=(x-1)，即5x-2