2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质学案（含解析）新人教B版选修2-1

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1、2.1.2　由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质学习目标　1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法.知识点一　坐标法的思想1．坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法．2．解析几何研究的主要问题：(1)通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程．(2)通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质．知识点二　求曲线的方程的步骤1．建系：建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)

2、表示曲线上任意一点M的坐标．2．写集合：写出适合条件p的点M的集合P＝{M

3、p(M)}．3．列方程：用坐标表示条件p(M)，列出方程F(x，y)＝0.4．化简：化方程F(x，y)＝0为最简形式．5．结论：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．1．求曲线方程的关键是建立坐标系，而坐标系的建立通常是唯一的．(　×　)2．求曲线方程的步骤不可以省略．(　×　)3．按照求曲线方程的步骤求出的曲线方程不用检验．(　×　)题型一　直接法求曲线的方程例1　一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍．

4、求动点P的轨迹方程．解　设P(x，y)，则

5、8－x

6、＝2

7、PA

8、.则

9、8－x

10、＝2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.引申探究若将本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程．解　设P(x，y)，则P到直线y＝8的距离d＝

11、y－8

12、，又

13、PA

14、＝，故

15、y－8

16、＝2，化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.反思感悟　直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足

17、的几何条件．(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明．特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．跟踪训练1　已知在Rt△ABC中，角C为直角，点A(－1,0)，点B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程．解　如图，设C(x，y)，则＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)．∵∠C为直角，∴⊥，即·＝0.∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0.化简得x2＋y2＝1.∵A，B，C三点要构成三角形，∴A，B，

18、C不共线，∴y≠0，∴点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．题型二　相关点法求曲线的方程例2　动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．解　设P(x，y)，M(x0，y0)，因为P为MB的中点，所以即又因为M在曲线x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1.所以P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.反思感悟　相关点法求解轨迹方程的步骤(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)．(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系(3)代入相关动点的轨迹方

19、程．(4)化简、整理，得所求轨迹方程．跟踪训练2　对任意平面向量＝(x，y)，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝(xcosθ－ysinθ，xsinθ＋ycosθ)，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P.设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线x2－y2＝2，则原来曲线C的方程是(　　)A．xy＝－1B．xy＝1C．y2－x2＝2D．y2－x2＝1考点　题点　答案　A解析　设平面内曲线C上的点P(x，y)，则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点P′，∵点P′在曲线x2－y2＝

20、2上，∴2－2＝2，整理得xy＝－1.题型三　根据曲线的方程求两曲线的交点例3　过点M(1,2)的直线与曲线y＝(a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围．解　当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，不可能与曲线有两个公共点．故设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，联立方程，得消去x，得y2－(2－k)y－ka＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点．∴Δ＝[－(2－k)]2＋4ka>0.设方程①的两根分别为y1，y2，由根与系数的

21、关系，得y1＋y2＝2－k.又∵y1＋y2＝a，∴k＝2－a，代入Δ>0中，得a2＋4a(2－a)>0，解得0