2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质学案新人教B版

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1、2.1.2　由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质学习目标核心素养1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法．(重点、难点)3.初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质.1.通过由方程研究曲线的性质，培养学生直观想象素养.2.借助由曲线求它的方程，提升学生逻辑推理、数学运算素养.1．解析几何研究的主要问题(1)由曲线求它的方程．(2)利用方程研究曲线的性质．2．求曲线的方程的步骤思考：求曲线方程的步骤是否可以省略．[提示]　可以省略．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤“证明”

2、，如有特殊情况，可以适当说明．1．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是(　　)A．一条直线　　　　　B．一条直线去掉一点C．一个点D．两个点B　[C的轨迹是线段AB的垂直平分线去掉AB的中点．]2．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC底边AB的中线的方程是(　　)A．x＝0B．x＝0(0≤y≤3)C．y＝0D．y＝0(0≤x≤2)[答案]　B3．平面上有三点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为________．y2＝8x(x≠0)　[＝，＝，由⊥得2x－＝0

3、，即y2＝8x(x≠0)．]由方程研究曲线的性质【例1】　写出方程y2－4x－4＝0的曲线的主要性质．[解]　(1)曲线变化情况：∵y2＝4x＋4≥0，得x≥－1，y可取一切实数，x逐渐增大时，

4、y

5、无限增大．∴曲线在直线x＝－1的右侧，向上向下无限伸展．(2)对称性：用－y代y方程不变，故曲线关于x轴对称．(3)截距：令y＝0，得x＝－1；令x＝0得y＝±2，∴曲线的横截距为－1，纵截距为±2.(4)画方程的曲线：列表：x－10123…y0±2±2.83±3.46±4…描点作图如图所示．利用方程研究曲线性质的一般过程1．画出到两坐标轴距离

6、之差等于1的点的轨迹图形．[解]　到两坐标轴距离之差等于1的点(x，y)，满足的方程是

7、

8、x

9、－

10、y

11、

12、＝1，其中以－x代x，或－y代y，方程都不变，所以方程的曲线关于坐标轴对称，同时也关于原点对称，需画出x≥0，y≥0的图形后，利用对称性完成画图，如图.直接法求曲线方程【例2】　已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．[思路探究]　由条件可知动点满足的关系已确定，只需坐标化再化简即得方程．[解]　如图所示，取直线l为x

13、轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建立坐标系xOy.设点M(x，y)是曲线上任意一点，作MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集合P＝{M

14、

15、MF

16、－

17、MB

18、＝2}．由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为－y＝2，①将①式移项后两边平方，得x2＋(y－2)2＝(y＋2)2，化简得y＝x2.因为曲线在x轴的上方，所以y＞0.虽然原点O的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是y＝x2(x≠0)．直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M

19、p(M)}直接翻译成x，y的形式F(x，y)＝0

20、，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．2．一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．[解]　设P(x，y)，则

21、8－x

22、＝2

23、PA

24、.则

25、8－x

26、＝2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.代入法求曲线的方程[探究问题]1．为什么说“建立平面直角坐标系是解析几何的基础”？[提示]　只有建立了坐标系，才有点的坐标，才能把曲线代数化，才能用代数法研究几何问题．2．常见的建系原则有

27、哪些？[提示]　(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系．(2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系．3．求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？[提示]　在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或“增解”．【例3】　动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．[思路探究]　所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得．[解]　设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点．∴即又∵M在曲

28、线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.1．(变换条件)本例中把条件“M和定点B(3,0)连线的中点为P”改为“＝2”，求