数学模型作业2.doc

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1、2007011207无78王萌7.要从雨中从一处沿直线跑道另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越烧。将人体简化为一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m。设跑步距离d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，记跑步速度为v。按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨淋的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与素的v及参数a，

2、b，c,d,u,w,θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算θ=0，θ=30︒时的总淋雨量。（3）风从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为α，如图2，建立总淋雨量与素的v及参数a，b，c,d,u,w,θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算θ=30︒时的总淋雨量。（4）以总淋雨量为纵轴，速度为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？解：（1）身体面积S=2ab+2ac+bc=2.2m2，淋雨时间t=d/vm=200s，降雨

3、量w=2cm/h=5.56*10-6m/s，所以总淋雨量Q=Stw=2.44L。（2）顶部淋雨量，淋雨速度为u*cos(θ)Q1=b*c*d*w*cos（θ）/v正面淋雨量：淋雨速度为u*sin(θ)+vQ2=a*b*d*w*(u*sin(θ)+v)/(u*v)总淋雨量Q=Q1+Q2=b*d*w*[c*u*cos(θ)+a*(u*sin(θ)+v)]/(u*v)，在定义域是v的单调减函数，所以当v=vm时，Q最小。经计算得：θ=0时，Q=1.15L。θ=30︒时，Q=1.55L。（3）分两种情况，v>u*sin(α):人的前面

4、淋雨；v≤u*sin(α):人的背面淋雨。不管怎样，淋雨速度总是

5、v-u*sin(α)

6、,总淋雨量bdwucucosα+a(usinα-v)v=bdwvu(ccosα+asinα-av)v,v≤u*sin(α)Q=bdwucucosα+a(v-usinα)v=bdwvu(ccosα-asinα-av)v,v>u*sin(α)可以看出v≤u*sin(α)时Q为单调减函数；v>u*sin(α)时，若ccosα-asinα<0，为单调增函数，此时v=u*sin(α)为最小值点；否则，v=vm时为最小值点。α=30︒，ccosα-as

7、inα<0，此时v=2m/s时，Q=0.24L为最小，v=vm时，Q=0.93L。（4）ccosα-asinα<0时ccosα-asinα>0时,（1）再计算侧面淋雨量即可，为一个d/v的线性函数，对（2）结果无影响，将影响(3)的结果。8.甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别为x和y，设甲乙公司商品的销售量在两公司总销售量中的份额，是他们的广告费在总广告费中所占份额的函数f(xx+y)和f(yx+y).又设公司的收入与销售量成正比，从收入中扣除广告费后为公司的利润，试构造模型的图样，并讨论甲乙公司怎样确定广告费

8、才能使利润最大。（1）令t=xx+y,则f(t)+f(1-t)=1。画出f(t)的示意图。（2）写出家公司利润的表达式p(x)。对于一定的y，使p(x)最大的x的最优值应满足什么条件。用图解法确定这个最优值。（1）f(t)图形以(1/2,1/2)为中心对称，由图所示。（2）甲公司利润为p(x)=αf(xx+y)-x,α是常数。设t=xx+y由p’(x*)=0可得f’(t*)=yα(11-t*)2,记c是任意常数。则曲线族g(t)=yα11-t*+c中与f(t)相切的那一条曲线的切点为t*,可以算出x*.