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1、2007011207无78王萌7.要从雨中从一处沿直线跑道另一处,若雨速为常数且方向不变,试建立数学模型讨论是否跑得越快,淋雨量越烧。将人体简化为一个长方体,高a=1.5m(颈部以下),宽b=0.5m,厚c=0.2m。设跑步距离d=1000m,跑步最大速度vm=5m/s,雨速u=4m/s,降雨量w=2cm/h,记跑步速度为v。按以下步骤进行讨论:(1)不考虑雨淋的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量。(2)雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一平面内,且与人体夹角为θ,如图1.建立总淋雨量与素的v及参数a,
2、b,c,d,u,w,θ之间的关系,问速度v多大,总淋雨量最少,计算θ=0,θ=30︒时的总淋雨量。(3)风从背面吹来,雨线与跑步方向在同一平面内,且与人体夹角为α,如图2,建立总淋雨量与素的v及参数a,b,c,d,u,w,θ之间的关系,问速度v多大,总淋雨量最少,计算θ=30︒时的总淋雨量。(4)以总淋雨量为纵轴,速度为横轴,对(3)作图(考虑α的影响),并解释结果的实际意义。(5)若雨线方向与跑步方向不在同一平面内,模型会有什么变化?解:(1)身体面积S=2ab+2ac+bc=2.2m2,淋雨时间t=d/vm=200s,降雨
3、量w=2cm/h=5.56*10-6m/s,所以总淋雨量Q=Stw=2.44L。(2)顶部淋雨量,淋雨速度为u*cos(θ)Q1=b*c*d*w*cos(θ)/v正面淋雨量:淋雨速度为u*sin(θ)+vQ2=a*b*d*w*(u*sin(θ)+v)/(u*v)总淋雨量Q=Q1+Q2=b*d*w*[c*u*cos(θ)+a*(u*sin(θ)+v)]/(u*v),在定义域是v的单调减函数,所以当v=vm时,Q最小。经计算得:θ=0时,Q=1.15L。θ=30︒时,Q=1.55L。(3)分两种情况,v>u*sin(α):人的前面
4、淋雨;v≤u*sin(α):人的背面淋雨。不管怎样,淋雨速度总是
5、v-u*sin(α)
6、,总淋雨量bdwucucosα+a(usinα-v)v=bdwvu(ccosα+asinα-av)v,v≤u*sin(α)Q=bdwucucosα+a(v-usinα)v=bdwvu(ccosα-asinα-av)v,v>u*sin(α)可以看出v≤u*sin(α)时Q为单调减函数;v>u*sin(α)时,若ccosα-asinα<0,为单调增函数,此时v=u*sin(α)为最小值点;否则,v=vm时为最小值点。α=30︒,ccosα-as
7、inα<0,此时v=2m/s时,Q=0.24L为最小,v=vm时,Q=0.93L。(4)ccosα-asinα<0时ccosα-asinα>0时,(1)再计算侧面淋雨量即可,为一个d/v的线性函数,对(2)结果无影响,将影响(3)的结果。8.甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量,广告费分别为x和y,设甲乙公司商品的销售量在两公司总销售量中的份额,是他们的广告费在总广告费中所占份额的函数f(xx+y)和f(yx+y).又设公司的收入与销售量成正比,从收入中扣除广告费后为公司的利润,试构造模型的图样,并讨论甲乙公司怎样确定广告费
8、才能使利润最大。(1)令t=xx+y,则f(t)+f(1-t)=1。画出f(t)的示意图。(2)写出家公司利润的表达式p(x)。对于一定的y,使p(x)最大的x的最优值应满足什么条件。用图解法确定这个最优值。(1)f(t)图形以(1/2,1/2)为中心对称,由图所示。(2)甲公司利润为p(x)=αf(xx+y)-x,α是常数。设t=xx+y由p’(x*)=0可得f’(t*)=yα(11-t*)2,记c是任意常数。则曲线族g(t)=yα11-t*+c中与f(t)相切的那一条曲线的切点为t*,可以算出x*.
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