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1、2.4.2抛物线的简单几何性质一、复习回顾：.FM.－－抛物线标准方程1、抛物线的定义：标准方程图形焦点准线xyoF..xyFo.yxoF.xoyF2、抛物线的标准方程：3、椭圆和双曲线的性质：结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点类比探索x≥0,y∈R关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点.（0,0）二、讲授新课：.yxoF（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。（5）焦半径：连接抛物线任意
2、一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。xOy（6）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。通径长为2p通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦。xOyFA焦点弦：焦点弦公式：B思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称关于x轴对
3、称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的e=1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！例1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是.三、典例精析解法1F1(1,0),解法2F1(1,0),解法3
4、AB
5、=
6、AF
7、+
8、BF
9、=
10、AA
11、1
12、+
13、BB1
14、=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8ABFA1B1√解法42.4.2直线与抛物线的位置关系一、复习回顾：直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法：1、根据几何图形判断的直接判断2、直线与圆锥曲线的公共点的个数Ax+By+c=0f(x,y)=0(二次方程)解的个数形数判断直线与双曲线位置关系的步骤：把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐进线平行相交（一个交点）计算判别式>0=0<0相交相切相离Fxy问题：你能说出直线与抛物线位置关系吗？二、讲授新课：判断直线与抛物线位置关系的
15、步骤：把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交（一个交点）计算判别式>0=0<0相交相切相离总结：-1或几何画板演示判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交（一个交点）计算判别式>0=0<0相交相切相离总结：1.过点(0,2)与抛物线只有一个公共点的直线有(）（A）1条(B)2条(C)3条(D)无数多条C.P例2求过定点P（0，1）且与抛物线只有一个公共点的直线的方程.由{得{故直线x=0与抛物线只有一个交点.解:
16、(1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是x=0.当k=0时，x=,y=1.故直线y=1与抛物线只有一个交点.由方程组{消去y得(2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是y=kx+1,xyO当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则此时直线方程为综上所述，所求直线方程是x=0或y=1或2.四、点与抛物线点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p>0)的位置关系及判断方法.1.点在抛物线外2.点在抛物线上3.点在抛物线内y02-2px0>0y02-2px0=0y02-2px0<0五、抛物线的焦点弦常见结论已知过抛物线y2=2p
17、x(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)
18、AB
19、=x1+x2+p(2)通径长为2p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直线AB的倾斜角为θ,则
20、AB
21、=2p/sin2θxOyABFθ4.在抛物线上求一点，使它到直线2x-y-4=0的距离最小.解：设P(x,y)为抛物线上任意一点，则P到直线2x-y-4=0的距离此时y=1，所求点的坐标为P(1,1).当且仅当x=1时，，法二:观察图象可知,平移直线至与抛物线相切,则切点即为所求.联立得设切线方程为2x-y+C=0，由得
22、C=-1又由（）得x=1，∴y=1.故所求点的坐标是（1，1）.点评：此处用到了数形结合的方法.2x-y-4=0xyOp5.在抛物线上求一点，使它到直线2x-y-4=0的距离最小.
