抛物线地简单几何性质典型例的题目

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1、实用标准文案典型例题一例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x轴，为此，将方程联立，解出直线OP的方程为即令，得M点纵坐标得证．由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐．思路二：利用命题“如果过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为、，那么”来证．设、、，并从及中消去x，得到，则有结论，即．又直线OP的方程为，，得．因为在抛物线上，所以．从而．这一证法运算较小．思路三：直线MQ的方程为的充要条件是．将直

2、线MO的方程和直线QF的方程联立，它的解（x,y）就是点P的坐标，消去的充要条件是点P精彩文档实用标准文案在抛物线上，得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小．说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立．典型例题二例2已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积．分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以为三角形的底，只要确定高的最大值即可．解：设AB所在的直线方程为．将其代入抛物线方程，消去x得当过R的直线l平行于AB且与抛物线相

3、切时，△RAB的面积有最大值．设直线l方程为．代入抛物线方程得由得，这时．它到AB的距离为∴△RAB的最大面积为．典型例题三例3直线过点，与抛物线交于、两点，P是线段的中点，直线过P和抛物线的焦点F，设直线的斜率为k．（1）将直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数；（2）求出的定义域及单调区间．分析：过点P及F，利用两点的斜率公式，可将的斜率用k表示出来，从而写出，由函数的特点求得其定义域及单调区间．解：（1）设的方程为：，将它代入方程，得精彩文档实用标准文案设，则将代入得：，即P点坐标为．由，知焦点，∴直线的斜率∴函数．（2）∵与抛物线有两上交点，∴且解得或∴函

4、数的定义域为当时，为增函数．典型例题四例4如图所示：直线l过抛物线的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线．分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论．证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零；直线CD的斜率存在，且不为0．设C、D的坐标分别为与．则∴l的方程为∵直线l平分弦CD∴CD的中点在直线l上，即，化简得：精彩文档实用标准文案由知

5、得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线．证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线∵焦点F在直线l上，∴由抛物线定义，到抛物线的准线的距离相等．∵，∴CD的垂直平分线l：与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略．典型例题五例5设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程．分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点；待求得的关系后再用动点坐标来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算．解法一：设则：，，即，①把N点看作定点，则AB所在的直线方程为：显然代入化简整理得：，②精彩文档实用标准文案由①、②得：，化简得

6、用x、y分别表示得：解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设，则以OA为直径的圆方程为：①设，OA⊥OB，则在求以OB为直径的圆方程时以代，可得②由①＋②得：典型例题六例6如图所示，直线和相交于点M，⊥，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，，，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程．解：以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．由题意，曲线段C是N为焦点，以

7、为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点．∴设曲线段C满足的抛物线方程为：其中、为A、B的横坐标精彩文档实用标准文案令则，∴由两点间的距离公式，得方程组：解得或∵△AMN为锐角三角形，∴，则，又B在曲线段C上，则曲线段C的方程为典型例题七例7如图所示，设抛物线与圆在x轴上方的交点为A、B，与圆在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点．（1）求．（2）求△ABQ面积的最大值．分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出．解：（1）设由得：，精彩文档实用标准文案由得，同类似，则，（2），