抛物线的简单几何性质典型例题.pdf

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1、典型例题例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x轴，为此，将方程联立，解出直线OP的方程为即令，得M点纵坐标得证．由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐．思路二：利用命题“如果过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为、，那么”来证．设、、，并从及中消去x，得到，则有结论，即．又直线OP的方程为，，得．因为在抛物线上，所以．从而．这一证法运算较小．思路三：直线MQ的方程为的充要条件是．将直线MO

2、的方程和直线QF的方程联立，它的解（x,y）就是点P的坐标，消去的充要条件是点P在抛物线上，得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小．说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立．选题角度：熟悉抛物线的焦点、准线几何性质的运用；例2已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积．分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以为三角形的底，只要确定高的最大值即可．解：设AB所在的直线方程为．将其代入抛物线方程，消去x得当过R的直线l平

3、行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值．设直线l方程为．代入抛物线方程得由得，这时．它到AB的距离为∴△RAB的最大面积为．选题角度：利用过抛物线焦点的、斜率为1的弦长为定值求三角形面积的最大值；例3如图所示：直线l过抛物线的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线．分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论．证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所

4、以直线l的斜率存在，且不为零；直线CD的斜率存在，且不为0．设C、D的坐标分别为与．则∴l的方程为∵直线l平分弦CD∴CD的中点在直线l上，即，化简得：由知得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线．证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线∵焦点F在直线l上，∴由抛物线定义，到抛物线的准线的距离相等．∵，∴CD的垂直平分线l：与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略．选题角度：利用反证法证明抛物线过焦点的弦的性质例4设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程．分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点；待求

5、得的关系后再用动点坐标来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算．解法一：设则：，，即，①把N点看作定点，则AB所在的直线方程为：显然代入化简整理得：，②由①、②得：，化简得用x、y分别表示得：解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设，则以OA为直径的圆方程为：①设，OA⊥OB，则在求以OB为直径的圆方程时以代，可得②由①＋②得：选题角度：抛物线顶点在特殊弦上的射影轨迹。习题精选一、选择题1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，在抛物线准线上的射影分别是，，则为（）．A．45°B．60°C．90°D．120°2．过已知

6、点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）．A．B．C．D．4．若抛物线（）的弦PQ中点为（），则弦的斜率为（）A．B．C．D．5．已知是抛物线的焦点弦，其坐标，满足，则直线的斜率是（）A．B．C．D．6．已知抛物线（）的焦点弦的两端点坐标分别为，，则的值一定等于（）A．4B．－4C．D．7．已知⊙的圆心在抛物线上，且⊙与轴及的准线相切，则⊙的方程是（）A．B．C．D．8．当时，关于的方程的实根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9

7、．将直线左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线仅有一个公共点，则实数的值等于（）A．－1B．1C．7D．910．以抛物线（）的焦半径为直径的圆与轴位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．不确定11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么长是（）A．10B．8C．6D．412．过抛物线（）的焦点且垂直于轴的弦为，为抛物线顶点，则大小（）A．小于B．等于C．大于D．不能确定13．抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（－2，－2）C．（2，2）D．（2，0）14．已知抛物线（）上有一点，它到焦点的距离为5，则的面积（为原点）为

8、（）A．1B．C．2D．15．记定点与抛物线上的点之