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时间:2020-04-05
《抛物线的简单几何性质典型例题.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、典型例题例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴?解:思路一:求出M、Q的纵坐标并进行比较,如果相等,则MQ//x轴,为此,将方程联立,解出直线OP的方程为即令,得M点纵坐标得证.由此可见,按这一思路去证,运算较为繁琐.思路二:利用命题“如果过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交,两上交点的纵坐标为、,那么”来证.设、、,并从及中消去x,得到,则有结论,即.又直线OP的方程为,,得.因为在抛物线上,所以.从而.这一证法运算较小.思路三:直线MQ的方程为的充要条件是.将直线MO
2、的方程和直线QF的方程联立,它的解(x,y)就是点P的坐标,消去的充要条件是点P在抛物线上,得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维,运算量也较小.说明:本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时(即斜率不存在),容易证明成立.选题角度:熟悉抛物线的焦点、准线几何性质的运用;例2已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点,求△RAB的最大面积.分析:求RAB的最大面积,因过焦点且斜率为1的弦长为定值,故可以为三角形的底,只要确定高的最大值即可.解:设AB所在的直线方程为.将其代入抛物线方程,消去x得当过R的直线l平
3、行于AB且与抛物线相切时,△RAB的面积有最大值.设直线l方程为.代入抛物线方程得由得,这时.它到AB的距离为∴△RAB的最大面积为.选题角度:利用过抛物线焦点的、斜率为1的弦长为定值求三角形面积的最大值;例3如图所示:直线l过抛物线的焦点,并且与这抛物线相交于A、B两点,求证:对于这抛物线的任何给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线.分析:本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论.证法一:假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线,因为直线l与抛物线交于A、B两点,所
4、以直线l的斜率存在,且不为零;直线CD的斜率存在,且不为0.设C、D的坐标分别为与.则∴l的方程为∵直线l平分弦CD∴CD的中点在直线l上,即,化简得:由知得到矛盾,所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.证法二:假设直线l是弦CD的垂直平分线∵焦点F在直线l上,∴由抛物线定义,到抛物线的准线的距离相等.∵,∴CD的垂直平分线l:与直线l和抛物线有两上交点矛盾,下略.选题角度:利用反证法证明抛物线过焦点的弦的性质例4设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直,求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程.分析:求与抛物线有关的轨迹方程,可先把N看成定点;待求
5、得的关系后再用动点坐标来表示,也可结合几何知识,通过巧妙替换,简化运算.解法一:设则:,,即,①把N点看作定点,则AB所在的直线方程为:显然代入化简整理得:,②由①、②得:,化简得用x、y分别表示得:解法二:点N在以OA、OB为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上,设,则以OA为直径的圆方程为:①设,OA⊥OB,则在求以OB为直径的圆方程时以代,可得②由①+②得:选题角度:抛物线顶点在特殊弦上的射影轨迹。习题精选一、选择题1.过抛物线焦点的直线与抛物线相交于,两点,若,在抛物线准线上的射影分别是,,则为().A.45°B.60°C.90°D.120°2.过已知
6、点且与抛物线只有一个公共点的直线有().A.1条B.2条C.3条D.4条3.已知,是抛物线上两点,为坐标原点,若,且的垂心恰好是此抛物线的焦点,则直线的方程是().A.B.C.D.4.若抛物线()的弦PQ中点为(),则弦的斜率为()A.B.C.D.5.已知是抛物线的焦点弦,其坐标,满足,则直线的斜率是()A.B.C.D.6.已知抛物线()的焦点弦的两端点坐标分别为,,则的值一定等于()A.4B.-4C.D.7.已知⊙的圆心在抛物线上,且⊙与轴及的准线相切,则⊙的方程是()A.B.C.D.8.当时,关于的方程的实根的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个9
7、.将直线左移1个单位,再下移2个单位后,它与抛物线仅有一个公共点,则实数的值等于()A.-1B.1C.7D.910.以抛物线()的焦半径为直径的圆与轴位置关系为()A.相交B.相离C.相切D.不确定11.过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点,如果,那么长是()A.10B.8C.6D.412.过抛物线()的焦点且垂直于轴的弦为,为抛物线顶点,则大小()A.小于B.等于C.大于D.不能确定13.抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是()A.(0,0)B.(-2,-2)C.(2,2)D.(2,0)14.已知抛物线()上有一点,它到焦点的距离为5,则的面积(为原点)为
8、()A.1B.C.2D.15.记定点与抛物线上的点之
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