高等数学教学讲解教学讲解教案（同济六版）12-5 函数展开成幂级数.ppt

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1、第五讲函数展开成幂级数函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数在收敛域内和函数求和展开幂级数引言?例意义近似计算理论研究研究问题在什么条件下能展开为幂级数;的展开式在什么范围内成立;的展开式是否唯一;的展开式如何确定.在收敛域内和函数求和展开幂级数引言?例意义近似计算理论研究研究问题在什么条件下能展开为幂级数;的展开式在什么范围内成立;的展开式是否唯一;的展开式如何确定.令令令令在收敛域内和函数求和展开幂级数引言?例意义近似计算理论研究研究问题在什么条件下能展开为

2、幂级数;的展开式在什么范围内成立;的展开式是否唯一;的展开式如何确定.在收敛域内和函数求和展开幂级数引言?例意义近似计算理论研究研究问题在什么条件下能展开为幂级数;的展开式在什么范围内成立;的展开式是否唯一;的展开式如何确定.在收敛域内和函数求和展开幂级数引言?例意义近似计算理论研究研究问题在什么条件下能展开为幂级数;的展开式在什么范围内成立;的展开式是否唯一;的展开式如何确定.令令令令f(x)能展开成(x-x0)的幂级数f(x)在x0处有任意阶导数?例定义设f(x)在x0处有任意阶导数,称为f(x)在x0处的泰勒级数

3、(x0=0时,称为麦克劳林级数).若在包含x0的某区间I内,等式成立,称上式为f(x)的泰勒展开式(x0=0时,称为麦克劳林展开式).?则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是:f(x)的泰勒公式中的余项证明令设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)具有各阶导数,定理当时的极限为零,即在收敛域内和函数求和展开幂级数引言?例意义近似计算理论研究研究问题在什么条件下能展开为幂级数;的展开式在什么范围内成立;的展开式是否唯一;的展开式如何确定.在收敛域内和函数求和展开幂级数引言?例意义近似计算理论研究研究问题在什么

4、条件下能展开为幂级数;的展开式在什么范围内成立;的展开式是否唯一;的展开式如何确定.函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数（一）直接展开法（二）间接展开法二、函数展开成幂级数（一）直接展开法（二）间接展开法展开步骤1．求函数及其各阶导数在x=0处的值;2．写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;3．判别在收敛区间(－R,R)内是否为0．将函数展开成x的幂级数.解:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足故(在0与x之间)故得级数例1将展开成x的

5、幂级数.解:得级数:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足例2将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.于是得级数由于级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,例3解:则为避免研究余项,设此级数的和函数为称为二项展开式.注(1)在x＝±1处的收敛性与m有关.(2)当m为正整数时,级数为x的m次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.由此得对应的二项展开式分别为二、函数展开成幂级数（一）直接展开法（二）间接展开法二、函数展开成幂级数（一）直接展开法（二）间接展开法间接展开法利用一些已知的函数展开式,通过幂级数的运算

6、(如四则运算,逐项求导,逐项积分)以及变量代换等,将所给的函数展开成幂级数.例把换成把换成从0到x积分从0到x积分例逐项求导例把换成例4把函数展开成x的幂级数.例5将函数展开成的幂级数.例6将函数展开成的幂级数.