高中数学之三角函数类型题.doc

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1、高中数学之三角函数类型题：1．已知tanx=2，求sinx，cosx的值．解：因为，又sin2x＋cos2x=1，联立得解这个方程组得2．求的值．解：原式3．若，求sinxcosx的值．解：法一：因为所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，得到sinx=－3cosx，又sin2x＋cos2x=1，联立方程组，解得所以法二：因为所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，所以(sinx－cosx)2=4(sinx＋cosx)2，所以1－2sinxcosx=4＋8sinxcosx，所以有4．求证：tan2x·sin2x=tan2x－sin2x．证明：法一：右边＝tan2x－sin2

2、x=tan2x－(tan2x·cos2x)=tan2x(1－cos2x)=tan2x·sin2x，问题得证．法二：左边=tan2x·sin2x=tan2x(1－cos2x)=tan2x－tan2x·cos2x=tan2x－sin2x，问题得证．5．求函数在区间[0，2p]上的值域．解：因为0≤x≤2π，所以由正弦函数的图象，得到所以y∈[－1，2]．6．求下列函数的值域．(1)y＝sin2x－cosx+2；(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)．解：(1)y=sin2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2=－(cos2x＋cosx)＋3，令t=cosx，则利用二次函数的图

3、象得到(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)=(sinx＋cosx)2－1－(sinx＋cosx)，令t=sinx＋cosx，，则则，利用二次函数的图象得到7．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为，得到，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是个周期，这样求得，T=16，所以又由，得到可以取8．已知函数f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若求f(x)的最大值、最小值．数的值域．解：(Ⅰ)因为f(

4、x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x所以最小正周期为π．(Ⅱ)若，则，所以当x=0时，f(x)取最大值为当时，f(x)取最小值为1．已知，求（1）；（2）的值.解：（1）；(2).说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。2．求函数的值域。解：设，则原函数可化为，因为，所以当时，，当时，，所以，函数的值域为。3．已知函数。（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数的图像关于直线对称。解：(1)所以的最小正周期，因为，所以，当，即时，最大值为；

5、(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，因为，，所以成立，从而函数的图像关于直线对称。4．已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）,（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1=(2cos2x－1)++（2sinx·cosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+=sin(2x+)+所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即x=+kπ,（k∈Z）。所以当函数y取最大值时，自变

6、量x的集合为{x

7、x=+kπ,k∈Z}（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。历年高考综合题一，选择题1.（08全国一6）是（）A．最小正周期为的偶函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶

8、函数D．最小正周期为的奇函数2.（08全国一9）为得到函数的图象，只需将函数的图像（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位3.(08全国二1)若且是，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4.（08全国二10）．函数的最大值为（）A．1B．C．D．25.（08安徽卷8）函数图像的对称轴方程可能是（）A．B．C．D．6.（