【高中数学】《高中数学解读与扩展系列之三角函数》

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1、一、三角函数三角函数是高中数学中基本初等函数之一.是每年高考的必考内容.（1）主要知识1.弧度制：角．2.扇形的周长、面积公式：扇形的半径为，圆心角的弧度数是，则：扇形的周长=扇形的弧长：，扇形的面积：.3.终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，构成角的集合是：终边相同的角的同名三角函数值相等．4.三角函数定义：设角是任意角，角的终边上任意一点P的坐标,，那么.5.三角函数线如图（I）～（IV），设任意角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合且与单位圆交于点，终边与单位圆交于点，过点作垂直轴于点，过点作轴垂线与角的终边或其延长线交于点，则有向线段分别称为角的正弦线、余弦线、

2、正切线，即正弦线：；余弦线：；正切线：．正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．6.诱导公式：组数一二三四五六角正弦余弦正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限三角函数值在各个象限的符号：I全正，II正弦，III两切，IV余弦．7.同角三角函数的基本关系：，.8.和、差、倍公式，9.函数的基本性质函数　　y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x

3、x≠kπ＋，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)无对称轴对称中心(kπ，0)(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间单调减区间单调增区间单调减区间单调增区间奇偶

4、性奇偶奇10.图象变换的两种途径先相位变换后周期变换．、先周期变换后相位变换．11.三角函数式的化简常用方法：直用公式，逆用公式，变用公式，切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次．12.三角函数式的证明常用方法：活用公式，化繁为简，左右归一，变更等式，高次化低，化异为同，异角化同角，异名化同名．三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明．13.三角函数的求值类型有三类：给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题．给值求值：给出某些角的三角函数

5、式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．常用的角的变换：；；；；；；14.几种常见函数的最值的求法①或型，利用或，注意对字母的讨论.②型：引进辅助角化成，再利用或求解.③型：利用转化，再配方后求二次函数的最值，应注意的约束.能用三角函数定义求解的数学问题一般有两种题型，一类是知道角α的终边上一点的坐标；另一类是与单位圆有关.利用三角函数定义可以求三角函数值、参数值、判断角的象限.一、求三角函数值例1.已知角

6、α的终边上一点P(－，m)(m≠0),且sinα＝，求cosα，tanα的值．【解析】由题设知x＝－，y＝m，所以r2＝

7、OP

8、2＝2＋m2(O为原点)，r＝.所以sinα＝＝＝，所以r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±.所以m＝时，r＝2，x＝－，y＝，所以cosα＝＝－，tanα＝－；当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，所以cosα＝＝－，tanα＝.点评：利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．例2.如图所示

9、，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα＝____.【解析】因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cosα＝－.点评：在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．

10、OP

11、＝r一定是正值．二、求参数值例2.【2016学年湖南衡阳一中高一下期末】已知角的终边过点，且，则的值为（）A．B．C．D．【解析】由题设可得,经检验成立,应选A.点评：对于三角函数的定义要牢固记忆，并且与单位圆中的要区分开，要知道只有在单位圆中点的纵坐标才是角θ的正弦．三、三角函数

12、定义下的创新例3.(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为(　　)【解析】如图所示，当x∈时，则P(cosx，sinx)，M(cosx，0)，作MM′⊥OP，M′为垂足，则＝sinx，所以＝sinx，所以f(x)＝sinxcosx＝sin2x，则当