【高考必备】高中数学解读与扩展系列之三角函数：4．三角函数的图象与性质含解析

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1、三角函数的图象与性质三角函数的图彖与性质一直是高考命题的热点，主要考查三角函数的单调性、授值、奇偶性、周期性、图象对称性以及这些性质的综合运用.主要考查运用数学知识分析解决问题的能力，考查数形结合思想•主要题型冇：五点法作图、图象变换、根据图象求解析式、函数图象的交点问题、三角函数的单调性、三角函数的奇偶性、三角函数的周期性.题型一：五点法作图【例1][2015年湖北卷】某同学用“五点法”画函数/(x)=/sin(ex+0)@>0,

2、^

3、<

4、)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：a)x^(p07C2713兀T2兀X兀3571~6Msin(亦+卩)05-50(1)

5、请将上表数据补充完整，壤竽华爸舉卡丄栉座仪這，并直接写出函数/(X)的解析式；(2)将尸/(兀)图象上所有点向左平行移动(&>0)个单位长度，得到尸g(x)的图象.若y=g(x)图彖的一个对称屮心为(―,0),求的最小值.【解析】⑴由表中数据得丄=»⑵X*=务=G)Xy+^=y,解得CJ=2,尸-g数据填补如下：ex+爭0712Tt3兀T2tcX71nTl37兀125兀~613兀12Msin(cor+0)05-50故函数/(x)的解析式为,f(x)=5sin(2x—^).(2)由(1)知/(x)=5sin(2Y—¥),所以由平移得g(x)=5sin(2L?+20).5jr因为尸g

6、⑴图象•的一个对称中心为(巨,0),乂&>0,故〃min=&【点评】函数y=/sin(0x+0)图象的

7、S1法:“五点法”一一设X""，令X二0,討乎,2龙求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后彳寻出图彖.题型二：三角函数的图象变换【例2】(2016年全国T卷高考)将两数尸2sin(2強)的图像向右平移+个周期后，所得图像対应的函数为(A)尸2sin(2对才)(B)尸2sin(2护■亍)(C)^=2sin(2^-~)(D)^=2sin(2x-~)【解析】由题意，函数J^2sin(2;rf#)的周期为¥=兀，将函数产2sin(2肝罟)的團像向右平移新周期即平移眷个单位，TT7TT

8、T得到函数y=2sin[2(x-->+-)]=2sin(2x--),463故选D-【点评】将y=sinx(xeT?)经过下列变换，可得p=/sin(Qx+°)+b(xwR,A>0,co>0)的图象:y=sinx丽後证ty=sin次CD向左平移£.y=sin(69x+(p)横坐标不变一一丄加纵塑标为原w/倍〉，_/sm(祇+0)同上'卜移单位》y-sin(69x+单)+b.题型三：根据图象求解析式【例3】【2016高考新课标2文数】函数y=Asin(cox+(p)的部分图像如图所示，则()A.p=2sin(2x-£)71C.y=2sin(2x+—)B.y=2sin(2x-彳)D.y

9、=2sin(2兀+扌)【解析】由图知，A=2,所以厲=竺=2,所以y=2sin(2x+??),因为图象过点(p2),所以2=2sin(2x彳+爭)〉所以sin(子+护)=1,所以—+©=2心+—{keZ)32令Z得'…&所以y=2sin(2x-—)>6故选A.【点评】逆用五点法作图的过程是求函数的解析式的关键.五点法作图时，五个点的横处标求解的方法是，将y=sin(69x+(p)与函数y=sina相比较，令cox+(p=0，得到X的值，便是第一个点的横坐标；令血+0二彳，得到第二个点的横坐标，等等.题型四：函数图象的交点问题例4(2016年天津高考)已知函数f(x)=sin$辛+

10、*sin血—*(Q>0),xeR.若f(x)在区间52兀)内没有零点，则e的取值范围是()(A)(0,-]【解析】（B）（01]U[

11、,l）（C）（0,

12、]（D）（0,

13、]U[j,

14、]4ooo4o―、1—cosqxsinox1/2.”兀.ffx）=+——=sm（0Jx——）22224JT令f（x）=O得sin（0Jx——）=04（兀k7T+—所以，x=——吒（兀2町,仗EZ）,araL.115599115一848484848得到<»e(0丄2[丄2],848故选D-题型五：三角函数的单调性例5（2016年山东高考）设/（x）=2/3sin（兀一x）sinx-（sin兀一cos

15、x）?.(I)求/(X)得单调递增区间;(II)把y=f(x)的图象上所有点的横处标伸长到原來的2倍(纵处标不变)，再把得到的图ITTT彖向左平移上个单位，得到函数=g(x)的图彖，求g(Z)的值.36【解析】()由f(x)=2^/3sin(^-x)sinx-(sinx-cosx)2=2a/3sin，兀-(1-2sinxcosx)=V3(l-cos2兀)+sin2x一1=sin2x-^3cos2x+>/3-11212所以，/(x)的单调递增区间是kn-—.kn^—(展Z),〔口)