高中数学知识点总结之三角函数篇.doc

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1、第三章　三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数一、必记3个知识点1．角的概念(1)分类(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β

2、β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l＝

3、α

4、r；③扇形面积公式：S扇形＝lr和

5、α

6、r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，

7、tanα＝(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．二、必明3个易误区1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．利用180°＝πrad进行互化时，易出现度量单位的混用．3．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝

8、.三、必会2个方法1．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦；2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想．考点一角的集合表示及象限角的判定1.给出下列四个命题：①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　)A．1个　　　　　　　　　B．2个C．3个D．4个解析：选C　－是第三象限角，故①错误；＝π＋，从而是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③

9、正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．设集合M＝，N＝，那么(　　)A．M＝NB．M⊆NC．N⊆MD．M∩N＝∅解析：选B　法一：由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N，故选B.法二：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.3．终边在直线y＝x上的角的集合为________

10、．解析：终边在直线y＝x上的角的集合为{α

11、α＝kπ＋，k∈Z}．答案：{α

12、α＝kπ＋，k∈Z}4．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°[类题通法]1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参

13、数k赋值来求得所需角．2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα，π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置．考点二三角函数的定义[典例]　(1)已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为(　　)A.B.C.D.(2)(2013·临川期末)已知α是第二象限角，其终边上一点P(x，)，且cosα＝x，则sin＝________.[解析]　(1)由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosα＝sin＝，故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为.(2)由题意得cosα＝＝x，解得

14、x＝0或x＝或x＝－.又α是第二象限角，∴x＝－.即cosα＝－，sin＝cosα＝－.[答案]　(1)D　(2)－[类题通法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．[针对训练]：已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋的值．解：设α终边上任一点为P(k，－3k)，则r＝＝

15、k

16、.当k>0时，r＝k，∴sinα＝＝－，＝＝，∴10sinα＋＝－3＋3＝

17、0；当k<0时，r＝－k，∴sinα＝