概率论和数理统计 估计量的评选标准和区间估计.ppt

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1、§2估计量的评选标准1针对总体的同一个参数，可以用各种不同方法对之进行估计；根据实际应用的需要，对于这些不同的估计量，有着不同的选择标准，其中较为基本的评选标准为：无偏、有效和相合。1、无偏性2显然,参数的无偏估计量的取值以参数真值为中心左右微小摆动的.析：需要证明的是：也即例1:试证样本均值X和样本方差S2分别是总体X的期望和方差2的无偏估计量。和和设为未知参数的估计量，故说明：对总体X的均值来说，其样本(X1,X2,…,Xn)的每一个Xi(i=1,2,…,n)均为其无偏估计。3所以，一个参数的无偏估计，可能是不唯一的，也可能是不存在的。若用样本

2、二阶中心矩B2作2的估计量，是有偏估计。这是因为一般总取作为2的估计量。你能举例说明“不唯一性”吗？4例2设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，E(X)=,D(X)=2.试确定常数c使为2的无偏估计.解：？？2、有效性5如:当然是取值较为集中的一个更为理想了！若参数同时有若干个无偏估计量，什么样的会更为理想呢？较单一的Xi有效得多。与Xi(i=1,2,…,n)都是的无偏估计量，但而D(Xi)=2，故随着n的增大，设均为参数的无偏估计量，若，则称较有效。3、相合性6例如可以证明，样本的k阶矩是总体k阶矩的相合估计量，等等。若n→∞时，，就

3、称是相合估计量。通常，人们首先考虑的往往是无偏性和有效性，只有在n很大时，才考虑相合性.仅基于以上常用的评选标准，也可以发现不同的估计法所构造出的统计量，各有自己的特点。§3区间估计7区间估计---依据所测数据(x1,x2,…,xn)求出一个以较大的可靠度包含着总体均值的区间(a1,a2)，同时还明确给出了这种可靠度的大小。1、定义：8估计总体分布中的未知参数时，若对事先给定的(0<<1)，存在样本(X1,X2,…,Xn)的确定的统计量与，则称随机区间为参数的置信度为100(1-)的置信区间；(1-)称为置信度（又称置信水平）。例如：上例所求得的区

4、间(1,2)，就是总体均值的一个置信度为95的置信区间。对于给定的样本数据(x1,x2,…,x10),如若x=2.26,则可得总体均值的一个置信度为95的置信区间:(2.012,2.508)几点说明置信区间与置信度的含义：9可以理解为：在多次重复抽样时，每次抽样的观察值按此统计量都能求得一个区间；在这众多的区间中，包含真值的约占100(1-),而不包含真值的约占100。置信区间的不唯一性；1>.结合引例不难看出，对于相同的置信度1-，置信区间并不唯一！2>.应当尽量选择最有效的（也即长度最短的）。----故而多用双侧分位点。2、求的(

5、1-)置信区间的步骤：10①从已知条件出发，寻求一个含有（而不含有其它未知参数）的样本函数W=W(X1,X2,…,Xn,),②根据W的分布的双侧分位点，解出的置信区间。使得随机变量W的分布为已知的（最好是常用的）分布；回顾引例的分析思路：从XN(,0.42)出发，导出一个含有待估参数的“统计量”然后基于UN(0,1)，得出解不等式可解得的置信区间.一个完全已知的分布这样的当然应该是不唯一的！例1已知总体XN(,2),与2都未知，样本(X1,X2,…,Xn)，求方差2的(1-)置信区间。11分析：若估计，则仍可考虑用估计2用；

6、此时，可用由可得2的(1-)置信区间为含有2（而不含有其它未知参数）的样本函数2已知,估计123、正态总体均值与方差的置信区间：(§5)单个总体的情形：2未知,估计用用估计2用两个总体的情形：12、22都已知,估计1-2用12、22都未知但大样本时，可用S12、S22代替它们，近似的服从N(0,1).13要求：㈠掌握思想方法，而不是死记、套用结果；㈡明确置信区间的实际意义，能结合到实际问题之中。12、22都未知,但12=22=2，估计1-2用一般情况下，估计12/22用144、应用举例例2已知样本值为(3

7、.3,-0.3,-0.6,-0.9)，求(1)当=3时，正态总体均值的95置信区间；(2)当未知时，正态总体均值的95置信区间。解：由样本值计算可得(1)当=3时，因为故所以，均值的95置信区间为代入样本值可得请您注意学习解题过程的写法！请准备好练习本15(2)当未知时，由知所以，均值的95置信区间为代入样本值可得查表可得16例3设有两个工厂独立地生产同一种产品，其质量指标均服从正态分布。现从它们某天的产品中随机抽取各60只，测得其样本均值分别为10.3和9.9，样本方差依次为0.84和1.25。试问能否由此以95的可靠性判断两工厂生产

8、质量水平的差异？析：要判