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1、§3估计量的评选标准返回目录1*无偏性(1)不是无偏的估计量称有偏的,称为的偏，也称为的系统误差；(2)无偏估计实际意义就是无系统误差.若的期望存在，有，称是θ无偏估计量.样本方差是总体方差的无偏估计.样本平均值是总体期望μ无偏估计,样本的2阶中心矩是的有偏估计.样本的2阶中心矩例如:只要总体X的期望μ与方差存在,无论总体的分布如何,例1设总体X的k阶矩存在,证无论总体的分布如何,样本的k阶原点矩是总体X的k阶原点矩的无偏估计.证：总体X的k阶原点矩样本的k阶原点矩例2总体X服从指数分布,概率密度为试证和都是θ的无偏估计.证明:∴ 是θ的无偏估计.的概率密度是θ的无偏估计
2、.2*有效性（effectiveness）例3是来自总体X的样本都是E(X)的无偏估计.则称较有效.若与都是θ的无偏估计，有且至少存在某一个有例4试证例2中θ的无偏估计较θ的无偏估计有效.证明:∴较有效.依赖于总体X的概率分布，依赖于n.Rao-Cramer不等式注：1.可以证明，在一定的条件下，估计量的方差永远不会小于一个正数，它是的一个下界，当等于方差下界时,称它是达到方差界的无偏的有效估计.有效估计发现的很少,时常遇见的是渐近有效估计.更一般的，若是θ的两个估计量,如果则称是比有效.2.是总体期望值的有效估计量.3.无偏有效估计量以最大概率保证,这估计的观察值在未知
3、参数的真值θ附近摆动.3*相合性（一致性）设是参数θ的估计量,称是θ的相合估计量(一致估计量).当n较大,充分接近θ.只有当样本容量较大时才起作用.通常我们得到的估计量一般都满足相合性的要求.例4为来自总体X的样本,例5为来自泊松分布的一个样本,试证明样本方差是λ的无偏估计,且对也是λ的无偏估计.∴样本方差是λ的无偏估计.也是λ的无偏估计.解：例6在总体中,分别抽取容量为的两个独立的样本,分别表示两个样本的平均值,试证:是μ的无偏估计,并确定a,b的值,使Y的方差达到最小.是μ的无偏估计,思考题：取自总体X的样本，试选择适当的c,使为的无偏估计.思考题答案：练习题：1.样
4、本X1,X2,…,Xn取自总体X,E(X)=μ,D(X)=σ2则()可以作为σ2的无偏估计量.2.设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,E(X)=μ,D(X)=σ2,则()是μ的无偏估计.3.设总体的期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,X1,X2,…,Xn是总体的一个样本,则()是σ2的无偏估计4.设X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本,其中E(X1)=μ0,D(X1)=σ2,μ0已知,σ2未知,则()是σ2的一个无偏估计量.5.设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,以下四个无偏估计量中最有效的是()6.设总体X的数学期望为μ,方差为σ2,(X1,X2)是X的
5、一个样本,则在下述的4个估计量中,()是最优的.7.矩估计必然是（）(1)无偏估计(2)总体矩的函数(3)样本矩的函数(4)极大似然估计8.设θ是总体X的未知参数,是θ的一个估计量,则()(1)是一个数,且近似等于θ;(4)当n很大时，的值可任意靠近θ.(2)是一个随机变量;(3)是一个统计量,且;9.设总体,均未知,则是()(1)μ的无偏估计(2)的无偏估计(3)μ的矩估计(4)的矩估计10.钢珠直径,其中μ为未知参数,现随机地抽取9个,求得则μ的矩估计值是()(4)9×31.06(1)31.0611.设是它的一个样本,验证都是参数p的无偏估计量,并判断哪一个更有效.1
6、2.设是的两倍,试求常数,使得是参数θ的两个独立的无偏估计量,并且的方差是θ的无偏估计量,并使方差达到最小.13.是参数θ无偏估计量,且证明：不是参数无偏估计.14.设总体,其中θ为未知参数,证明：是θ的无偏估计.是来自总体的一个样本，15.设是从正态总体中抽是的无偏估计量.取的一个样本,其中均为未知参数,求证：(1)参数θ的矩估计是θ的无偏估计.(2)参数θ的最大似然估计16.总体X服从均匀分布,证明:是有偏的.(3)参数θ的矩估计量与最大似然估计纠偏后的估计量哪个较有效.并求纠偏后的估计量.1.(1)；2.(3)；3.(3);4.(2);5.(3);6.(2);练习题
7、答案：7.(3)；8.(2)；9.(4);10.(1);16.(1)∴参数θ的矩估计是θ的无偏估计.(2)参数θ的最大似然估计是有偏的.实际问题中纠正有偏的方法：是参数θ的无偏估计.是参数θ的无偏估计.(3)矩估计的方差纠偏后的估计量的方差是最大似然估计纠偏后的估计量比矩估计量较有效.
